专题强化练习03 圆(瓜豆原理问题)精准提优-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(解析版)

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专题强化练习 03
圆最值问题（瓜豆原理）—精准提优
1．（2020 秋•灌云县期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是以点 A为圆心，4
为半径的圆上一点，连接 BD，M为BD 的中点，则线段 CM 长度的最大值（　　）
A．14 B．7 C．9 D．6
【分析】取 AB 的中点 E，连接 AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角
形的中位线定理求得 CE 和EM 的长，然后确定 CM 的范围．
【详解】解：取 AB 的中点 E，连接 AD、EM、CE．
在直角△ABC 中，AB＝ ＝ ＝10，
∵E是直角△ABC 斜边 AB 上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD 的中点，E是AB 的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5 2≤﹣CM≤5+2，
即3≤CM≤7．
∴最大值为 7，
故选：B．
2．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，以点 A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点 E
绕点 D按逆时针方向转转 90°，得到点 F，连接 AF，则 AF 的最大值是（　　）
A．B．C．D．
【分析】先构造出全等三角形，判断出点 F在AC 的延长线上时，AF 最大值，进而确定出点 E的位置，
再判断出 AF 最大时，点 C在AF 上，根据正方形的性质求出 AC，从而得出 AF 的最大值．
【详解】解：如图 1，
连接 AE，CF，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF＝AE＝1，
∴点 F的轨迹是以点 C为圆心，半径为 1圆，
∴点 F在AC 的延长线上时，AF 最大；
如图，过点 A作∠EAB＝45°交⊙A于点 E，此时旋转后 AF 最大，
过点 E作EG⊥AD 交DA 延长线于 G，
在Rt△AEG 中，AE＝1，∠GAE＝∠EAB＝45°，
∴EG＝AG＝ ，
∵∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE 和△CDF 中， ，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF＝AE＝1，
∠DCF＝∠DAE＝∠BAD+∠EAB＝90°+45°＝135°，
∴点 C在线段 AF 上，
∴AF＝AC+CF，
∵AC 是边长为 2的正方形的对角线，
∴AC＝2，
∴AF＝2 +1，
即：AF 的最大值是 2 +1，
故选：D．
3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，M为AB 中点，D是射线 BC 上一动点，连接 AD，将
线段 AD 绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AE，连接 ED、ME，点 D在运动过程中 ME 的最小值为（
　）
A．1 B．C． ﹣1 D．+1
【分析】连接 EB，过点 M作MG⊥EB 于点 G，过点 A作AK⊥AB 交BD 的延长线于点 K，则△AKB 是
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