专题强化练习02 一元二次方程的综合应用(培优)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(解析版)

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专题强化练习 02
一元二次方程的综合应用（培优）
1．甲，乙，丙三家超市为了促销一种定价均为 m元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降
价40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（
）
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙或丙
【分析】根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论．
【详解】解：降价后三家超市的售价是：
甲为（1 20%﹣）2m＝0.64m，
乙为（1 40%﹣）m＝0.6m，
丙为（1 30%﹣）（1 10%﹣）m＝0.63m，
因为 0.6m＜0.63m＜0.64m，所以此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．
故选：B．
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F分别是 BC、CD 上的点，且△AEF 是等边三角形，则 BE 的长为
（　　）
A．B．C．D．
【分析】由于四边形 ABCD 是 正 方 形， △ AEF 是等 边 三 角形，所 以 首 先根据已 知 条 件可以证 明
△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到 BE＝DF，设 BE＝x，那么 DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，那
么在 Rt△ABE 和Rt△ADF 利用勾股定理可以列出关于 x的方程，解方程即可求出 BE．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF 是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中
，
∴Rt△ABE Rt≌ △ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么 DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE 中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF 中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x24﹣x+1＝0，
∴x＝2± ，而 x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE 的长为＝2﹣．
故选：A．
3．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法
求方程 x2+x1﹣＝0的一个正根．如图，一张边长为 1的正方形的纸片 ABCD，先折出 AD、BC 的中点
G、H，再折出线段 AN，然后通过沿线段 AN 折叠使 AD 落在线段 AH 上，得到点 D的新位置 P，并连接
NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程 x2+x1﹣＝0的一个正根，则这条线
段是（　　）
A．线段 BH B．线段 DN C．线段 CN D．线段 NH
【分析】首先根据方程 x2+x1﹣＝0解出正根为 ，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段
BH＝0.5 排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形
的面积和，列等量关系．设 DN＝m，则 NC＝1﹣m，从而可以用 m表示等式．
【详解】解：设 DN＝m，则 NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC 的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1＝×1× + ×1×m+××（1﹣m）+ × ×m，
∴m＝ ．
∵x2+x1﹣＝0的解为：x＝﹣ ±，
∴取正值为 x＝ ．
∴这条线段是线段 DN．
故选：B．
4．已知整数 k＜5，若△ABC 的边长均满足关于 x的方程 x23﹣x+8＝0，则△ABC 的周长是 　 6
或
12
或
10 　 ．
【分析】根据题意得 k≥0 且（3）24×8≥0﹣，而整数 k＜5，则 k＝4，方程变形为 x26﹣x+8＝0，解得
x1＝2，x2＝4，由于△ABC 的边长均满足关于 x的方程 x26﹣x+8＝0，
所以△ABC 的边长可以为 2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
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