专题培优01 平面上的点与圆上的点之间距离的最值问题-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)(原卷版)

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专题培优 01 平面上的点与圆上点之间距离的最值问题

【方法引导】

平面上的点与圆上的点之间的距离最值问题，首先连圆心，其次加半径或减半径

如点 P在圆外时，则 PA 最值问题图示：

【例题讲解】

问题情境：如图 1，P是⊙O外的一点，直线 PO 分别交⊙O于点 A，B，则 PA 是点 P到⊙O上的点的最短

距离．

（1）探究：

如图 2，在⊙O上任取一点 C（不为点 A，B重合），连接 PC，OC．试证明：PA＜PC．

（2）直接运用：如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以 BC 为直径的半圆交 AB 于

D，P是上的一个动点，连接 AP，则 AP 的最小值是　　．

（3）构造运用：如图 4，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M是AD 边的中点，N是AB 边上一

动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，请求出 A′B长度的最小值．

解：由折叠知 A′M＝AM，又 M是AD 的中点，可得 MA＝MA′＝MD，故点 A′在以 AD 为直径的圆上．

（请继续完成解题过程）

（4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成）

①如图 5，E，F是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE＝DF．连接 CF 交BD 于点 G，连接 BE

交AG 于点 H．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是　　．

②如图 6，平面直角坐标系中，分别以点 A（﹣ 2，3），B（3，4）为圆心，以 1，2为半径作

⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则 PM+PN 的最小值等于

．

【例题 1 （4）综合应用课堂问题串具体引导】

问题 1.同学们，两点间的最值我们学了哪几种（将军饮马——两点间直线段最短，点与线的垂线段最

短）？

问题 2.观察点 H的轨迹，你有什么发现呢？（AB 中点为圆心，AB 的一半为半径的圆）

【拓展探究】

如图，∠AOB＝45°，在边 OA，OB 上分别有两个动点 C、D．连接 CD，以 CD 为直角边作等腰直角三角形

CDE，当 CD 的长度保持不变且等于 2cm 时，则 OE 的最大值是　　．

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