专题25.4 概率的计算（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 25.4 概率的计算（知识讲解）
【学习目标】
1、 通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，
理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简
单事件发生的概率；
2、 能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，
理解频率与概率的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分
析事件的概率.
特别说明：如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事
件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）= .
要点二、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1. 列表法：
　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列
出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事
件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2. 树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能
的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某
一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问
题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的
可能性务必相同.
要点三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统
计频率的方法来估计概率.
特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次
数很大时，结果将较为精确.
【典型例题】
类型一、用列举法求概率
1．在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为
1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号
的和等于 5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标
号之和等于 5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于 5的有 4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于 5的概率是： .
故选 C.
【点拨】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，
也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
举一反三：
【变式 1】如图，在 4×4 的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，
现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由在 4×4 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有 16 种等可
能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有 5种情况，直接利用概率公式
求解即可求得答案．
解：∵由题意，共 16-3=13 种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下 5个图所示
的5种情况，
∴概率为： ；
故选：B．
【点拨】本题考查了求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数 n，再找出某事
件发生的结果数 m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=．
【变式 2】如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点 O．将菱形沿EF 折叠，使点
C与点 O重合．若在菱形ABCD 内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据菱形的表示出菱形ABCD 的面积，由折叠可知 EF 是△BCD 的中位线，从而可表
示出菱形CEOF 的面积，然后根据概率公式计算即可.
解：菱形ABCD 的面积= ,
∵将菱形沿EF 折叠,使点 C与点 O重合,
∴EF 是△BCD 的中位线,
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