专题22.30 二次函数背景下直角三角形存在性问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 22.30 二次函数背景下直角三角形存在性问题（专项练习）

1．如图，二次函数 y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点 A（2，0），直线 AB 与抛物线交于点 B，

且∠BAO＝45°．

（1）求二次函数解析式及其顶点 C的坐标；

（2）在直线 AB 上是否存在点 D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点 D的坐标，若不

存在，说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝

90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函数 y＝x2+bx 2﹣的图象经过 C点．

(1)求二次函数的解析式；

(2)平移该二次函数图象的对称轴所在直线 l，若直线 l恰好将△ABC 的面积分为 1：2两部分，请

求出此时直线 l与x轴的交点坐标；

(3)将△ABC 以AC 所在直线为对称轴翻折 180°，得到△AB′C，那么在二次函数图象上是否存在

点P，使△PB′C 是以 B′C 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 P点坐标；若不存在，请说明

理由．

3．如图，二次函数的图象经过点，直线与轴交于

点为二次函数图象上任一点．

求这个二次函数的解析式；

若点是直线上方抛物线上一点，过分别作和轴的垂线，交直线于不同的两

点在的左侧)，求周长的最大值；

是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点的坐标；如

果不存在，请说明理由．

4．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+2 的图象与 x轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两

点，与 y轴交于点 C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点 P是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 的面积最大？若存在，求

出点 P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点 Q，使△BCQ 是以 BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，

直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由；

4．如图所示，已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图像与 x轴的交点为点 A(3，0)和点 B，与 y轴交于点

C(0，3)，连接 AC．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得△ACD 的面积最大?若存在，求出

点D的坐标及△ACD 面积的最大值，若不存在，请说明理由.

（3）在抛物线上是否存在点 E，使得△ACE 是以 AC 为直角边的直角三角形如果存在，请直接

写出点 E的坐标即可；如果不存在，请说明理由.

6．已知：一次函数的图象与 x轴、y轴的交点分别为 B、C，二次函数的关系式为 y

＝ax23﹣ax 4﹣a（a＜0）．

（1）说明：二次函数的图象过 B点，并求出二次函数的图象与 x轴的另一个交点 A的坐标；

（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求 a的取值范围；

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