专题22.28 二次函数背景下矩形、菱形、正方形存在性问题（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题 22.28 二次函数背景下矩形、菱形、正方形存在性问题

（专项练习）

1．如图，一次函数图象与坐标轴交于点 A、B，二次函数图象过

A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点 B关于抛物线对称轴的对称点为点 C，点 P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点

Q，使得以 B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 Q点坐标；若不存在，请说明理

由．

2．如图，二次函数的图象交 x轴于点，，交 y轴于点 C．点

是x轴上的一动点，轴，交直线于点 M，交抛物线于点 N．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 P仅在线段上运动，如图 1．求线段的最大值；

②若点 P在x轴上运动，则在 y轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．

若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与 x轴相交于点和点，

与y轴交于点 C．

（1）求的值；

（2）点为抛物线上的动点，过 P作x轴的垂线交直线于点 Q．

①当时，求当 P点到直线的距离最大时 m的值；

②是否存在 m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，

请求出 m的值．

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2＋bx＋c的图像经过点

A(2，5)，B(0，2)，C(4，2)．

（1）求这个二次函数关系式；

（2）若在平面直角坐标系中存在一点 D，使得四边形 ABDC 是菱形，请直接写出图象过

B、C、D三点的二次函数的关系式；

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，

且．

（1）求的值；

（2）在抛物线上求一点使得四边形是以为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出

点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝﹣x2+bx+c的图象与 x轴交于 A、B两点，A点的坐

标为（﹣3，0），B点在原点的左侧，与 y轴交于点 C（0，3），点 P是直线 BC 上方的抛物线上

一动点

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形 POP′C（如图 1所示），那么是否存在

点P，使四边形 POP′C为菱形？若存在，请此时点 P的坐标：若不存在，请说明理由；

（3）当点 P运动到什么位置时，四边形 ABCP 的面积最大，并求出其最大值．

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