甘肃省张掖市校际联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

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2022 年春学期高二年级期中考试
数学（文科）试卷
Ⅰ 卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．设 O是原点，向量 ， 对应的复数分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量 对应的复数是（ ）
A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i
2．曲线 在点 处的切线斜率是（ ）
A．9 B．6 C．－3 D．－1
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量 x，y的回归模型时，分别选择了 4种不同模型，计算可得它们的相
关指数 分别如下表：
甲乙丙丁
0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．用三段论推理：“任何实数的平方大于 0，因为 a是实数，所以 ”，你认为这个推理（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
5．已知 的内角 ， ， 对边分别为 ， ， ， ， ， ．则 （ ）
A．B．C．D．
6．已知复数 ，i为虚数单位，则 等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
8．设 a，b，c都是非零实数，则关于 a，bc，ac，－b四个数有以下说法：
① 四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在△ABC 中，B＝30°， ，AC＝2，则△ABC 的面积为（ ）
A．B．C． 或 D． 或
10．某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表：
广告费用 x（万元） 4 2 3 5
销售额 y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6万元时销售额为（ ）
A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元
11．在△ABC 中， ，则△ABC 为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
12．已知定义在 R上的奇函数 ，设其导函数为 ，当 时，恒有 ，令
，则满足 的实数 x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
Ⅱ 卷
一、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．若复数 为纯虚数，则实数 的值为______．
14．函数 ， 的单调递增区间为______．
15．函数 ，已知 x＝－3是函数 的一个极值点，则实数 a＝______．
16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30°的方向
上，行驶 600m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝______m．
二、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）求下列函数的导数．
（1） ；（2） ．
18．（12 分）已知顶点在单位圆上的△ABC，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 ，求△ABC 的面积．
19．（12 分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下
表所示：
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生 60 20 80
北方学生 10 10 20
合计 70 30 100
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有 5名数学系的学生，其中 2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取 3
人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
20．（12 分）如图，甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20 海里的B处，乙船以每小时 10 海里的速度
向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8海里的速度由A处向南偏西 60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、
乙两船相距最近？
21．（12 分）已知函数 ．
（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 ，且 对任意恒成立，求 k的最大值．
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