《精准解析》甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题（解析版）

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兰州一中 2021-2022-2 学期高二年级期中考试试卷
数学（理科）
说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间
120 分钟.答案写在答题卡上.交卷时只交答题卡.
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5分）
1. 复数 （i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ）
A. －1 B. 1 C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】先求出共轭复数，再求出虚部即可.
【详解】由题意知： ，则虚部为 1.
故选：B.
2. 在用反证法证明“已知 ， ，且 ，则 ， 中至多有一个大于 0”时，假设应为（ ）
A. ， 都小于 0 B. ， 至少有一个大于 0
C. ， 都大于 0 D. ， 至少有一个小于 0
【答案】C
【解析】
【分析】反证法，应假设命题结论的否定.
【详解】“至多有一个大于 0”包括“都不大于 0和有且仅有一个大于 0”，故其对立面为“ ， 都大于
0”．
故选：C
3. 函数 y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A. y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B. y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C. y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D. y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
【答案】B
【解析】
【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．
【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
故选：B
4. 函数 的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数 的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则
的应用.
5. 用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫bcf（x）dx ∫﹣abf（x）dx，然后根据定积分的意义进
行选择即可．
详解：
由定积分的几何意义知
区域内的曲线与 X轴的面积代数和．
即∫bcf（x）dx ∫﹣abf（x）dx
选项 D正确．
故选 D．
点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在 x轴下方的部分积分为负
（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相
等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.
6. 把3封信投到 4个信箱中，所有可能的投法共有（ ）
A. 7 种B. 12 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得每封信都有 4种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果
【详解】由题意可得，第 1封信投到信箱中有 4种投法，第 2封信投到信箱中有 4种投法，第 3封信投到
信箱中有 4种投法，
所以由分步乘法计数原理可得共有 种投法，
故选：D
7. 设函数 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f ′（x）的图象可能是（　　）
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