新疆哈密市第八中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试卷（理科） 含解析

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2019-2020 学年新疆哈密八中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．复数 z满足（1+i）z＝i，则在复平面内复数 z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．曲线 y＝sinx在x＝ 处的切线的斜率为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．D．
3．已知函数 f（x）＝3x2+2，则 f′（5）＝（　　）
A．15 B．30 C．32 D．77
4． ＝（　　）
A．B．C．D．
5．函数 f（x）＝ 的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，1）
C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）
6．已知 f（x）＝x3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，则 a的最大值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．曲线 y＝x2和y＝2x+3 围成的封闭面积是（　　）
A．B．C．10 D．
8．已知直线 l经过（﹣1，0），（0，1）两点，且与曲线 y＝f（x）切于点 A（2，3），则
的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．曲线 y＝x3﹣2x+4 在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
10．点 B是点 A（1，2，3）在坐标平面 yOz 内的射影，则|OB|等于（　　）
A．B．C．2 D．
11．复数 z＝（a2﹣1）+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则 a的取值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
12．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面 BCC1B1内的动点，
且AP⊥BD1，记 AP 与平面 BCC1B所成的角为 θ，则 tanθ的最大值为（　　）
A．B．C．2 D．
二．填空题（每小题 5分）.
13．复数 的虚部是　
　 ．
14．若函数 f（x）＝ 在 x＝1处取极值，则 a＝　
　 ．
15 ．直线 l的一个方向向量为 ，直线 n的一个方向向量为
，则 l与n的夹角为　
　 ．
16．若 2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切 x∈（0，+∞）恒成立，则 a的取值范围为　
　 ．
三．解答题
17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面
PAD⊥平面 ABCD，Q为AD 的中点，PA＝PD，BC＝AD＝1，CD＝ ．
（1）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；
（2）若异面直线 AB 与PC 所成角为 60°，求 PA 的长；
（3）在（2）的条件下，求平面 PQB 与平面 PDC 所成锐二面角的余弦值．
18．已知函数 ．
（Ⅰ）求 f（x）的减区间；
（Ⅱ）当 x∈[﹣1，1]时，求 f（x）的值域．
19．如图，底面 ABCD 是边长为 2的菱形，∠BAD＝60°，DE⊥平面 ABCD，CF∥DE，DE＝
2CF，BE 与平面 ABCD 所成的角为 45°．
（1）求证：平面 BEF⊥平面 BDE；
（2）求二面角 B﹣EF﹣D的余弦值．
20．已知函数 f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣ 与 x＝1时都取得极值．
（1）求 a、b的值与函数 f（x）的单调区间；
（2）若对 x∈[﹣1，2]，不等式 f（x）＜c2恒成立，求 c的取值范围．
21．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，已知 AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3．D是线段
BC 的中点．
（1）求直线 DB1与平面 A1C1D所成角的正弦值；
（2）求二面角 B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．
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