天津市河北区2021-2022学年高二上学期中质量检测数学试题含答案

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河北区 2021-2022 学年度第一学期中高二年级质量检测
数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．直线 x﹣2y＋1＝0 的一个方向向量是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．已知圆的方程为 x2＋y2﹣2x＋6y＋1＝0，那么圆心坐标和半径分别为（　　）
A．（﹣1，﹣3），9 B．（1，﹣3），3 C．（﹣1，3），3 D．（1，3），9
3．如图所示，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1中，若 ，则下
列向量中与 相等的向量是（　　）
A．B．C．D．
4．空间两点 A，B的坐标分别为（a，b，c），（﹣a，﹣b，c），则 A，B两点的位置
关系是（　　）
A．关于 x轴对称 B．关于 y轴对称
C．关于 z轴对称 D．关于原点对称
5．△ABC 的三个顶点是 A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边 BC 上的高所在直线
的方程为（　　）
A．5x＋y﹣20＝0 B．3x＋2y﹣12＝0 C．3x＋2y﹣19＝0 D．3x﹣2y﹣12＝0
6．已知两条直线 l1：x＋2y﹣4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线 l1与直线 l2间的距离为（
）
A．B．C．D．
7．直线 y＝x与圆 x2＋（y＋3）2＝4 的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
8．已知直线 l1：ax＋2y＝0 与直线 l2：x＋（a＋1）y＋4＝0 平行，则实数 a的值为（
　）
A．a＝﹣2 B．a＝1 C．a＝﹣2 或 a＝1 D．不存在
9．下列四个命题中，正确命题的个数是（　　）
① 若 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数
组（x，y，z），使得 ；
② 若两条不同直线 l，m的方向向量分别是 ，则 l∥m⇔；
③ 若 是空间的一个基底，且 ，则 A，B，C，D
四点共面；
④ 若两个不同平面 α，β的法向量分别是 ，且
，则 α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝
AB＝2，以 B为原点，分别以 的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向建立空
间直角坐标系，设平面 PAB 和平面 PBC 的一个法向量分别为 ，则下列结论中正
确的是（　　）
A．点 P的坐标为（0，0，2） B．
C．D．
二、填空题：本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20 分．答案填在题中横线上．
11．直线 x﹣y＋1＝0 的倾斜角为　 　．
12 ． 在 长 方 体 OABC﹣O1A1B1C1中 ， OA ＝ 2 ， OC ＝ 2 ， OO1＝ 1 ， 以 O为 原 点 ，
OA，OC，OO1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点 B1的坐标为 　 　．
13 ． 直 线 l： 3x﹣y﹣6 ＝ 0 被 圆 C： （ x﹣1 ） 2＋ （ y﹣2 ） 2＝ 5 截 得 的 弦 AB 的 长 是
．
14．已知空间向量＝（1，0，1），＝（1，1，2），则•的值为 　 　，向量，的夹角为
．
15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值 λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他
的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中， A（﹣
2 ， 0 ） ， B（ 4 ， 0 ） ， 点 P满足 ，则点 P所构成的曲线 C的方程为
．
三、解答题：本大题共 4个小题，共 40 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16．（8 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，且 AB＝2AD＝2，PA＝
2，∠PAB＝∠PAD＝60°．
（Ⅰ）求 PC 的长；
（Ⅱ）求异面直线 PC 与BD 所成角的余弦值．
17．（10 分）已知两圆 C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．
（1）求证：圆 C1和圆 C2相交；
（2）求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线方程和公共弦长．
18．（10 分）如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 1，E为BA1的中点，F为CC1的
中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面 ABCD；
（Ⅱ）求直线 EF 与平面 ABB1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点 B到平面 A1CD 的距离．
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PCD⊥平面 ABCD，△PCD 是边长为 2
的等边三角形，底面 ABCD 是矩形，BC＝2 ，M为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥PM；
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