天津市第八中学2020-2021学年高三下学期第一次统练数学试卷 含答案

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天津市第八中学 2020—2021 学年第二学期高三年级数学学科 第一次练习
启用前保密等级
时间：120 分钟；满分 150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共 9小题，共 45 分）
1. 设集合
A={−1,
1，2，3，
5}
，
B={2,
3，
4}
，
C={x∈R∨1≤ x <3}
，则
(A ∩C)∪B=()
A.
{2}
B.
C.
{−1,
2，
3}
D.
{1,
2，3，
4}
2. 设
x∈R
，则“
x2−5x<0
”是“
¿x − 1∨¿1
”的
¿
¿
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知奇函数
f(x)
在R上是增函数，
g(x)=xf (x).
若
a=g(−log25.1)
，
b=g(20.8)
，
c=g(3)
，则
a，b，c的大小关系为
¿
¿
．
A.
a<b<c
B.
c<b<a
C.
b<a<c
D.
b<c<a
4. 函数
y=4x
x2+1
的图象大致为
()
A. B.
C. D.
5. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成 6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层
抽样的方法抽取 100 位同学进行学习方法座谈，则成绩为
¿
组应抽取的人数为
()
A. 60 B. 50 C. 40 D. 20
6. 设双曲线 C的方程为
x2
a2−y2
b2=1(a>0, b>0)
，过抛物线
y2=4x
的焦点和点
(0, b)
的直线为
l .
若C的一
条渐近线与 l平行，另一条渐近线与 l垂直，则双曲线 C的方程为
()
A.
x2
4−y2
4=1
B.
x2−y2
4=1
C.
x2
4− y2=1
D.
x2− y2=1
7. 已知函数
f(x)=sin(x+π
3).
给出下列结论：
①f(x)
的最小正周期为
2π
；
②f(π
2)
是
f(x)
的最大值；
③
把函数
y=sinx
的图象上的所有点向左平移
π
3
个单位长度，可得到函数
y=f(x)
的图象．
其中所有正确结论的序号是
()
A.
①
B.
①③
C.
②③
D.
①②③
8. 已知三棱柱
ABC − A1B1C1
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
❑
√
3
，
AB=2
，
AC=1
，
∠BAC =60 °
，则此球的表面积等于
()
A.
8π
B.
9π
C.
10 π
D.
11 π
9. 已知函数
f(x)=
{
x2+17
6x+1, −2≤ x<0,
lnx , 0<x ≤e ,
函数
g(x)=kx .
若关于 x的方程
f(x)− g(x)=0
有3个互异的实
数根，则实数 k的取值范围是
()
A.
(1
e,5
6)
B.
[1
3,1
e]
C.
[1
3,5
6]
D.
(0,1
e)
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 6小题，共 30 分）
10. i是虚数单位，复数
8−i
2+i=¿
．
11. 在
¿
的展开式中，
x2
的系数是______．
12. 已知直线
x −❑
√
3y+8=0
和圆
x2+y2=r2(r>0)
相交于 A，B两点．若
¿AB∨¿6
，则 r的值为______．
13. 已知正数 x，y满足
x+y=1
，则
4
x+2+1
y+1
的最小值为______ ．
14. 如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，点 P 是MD 的中
点．若
¿AB
⃗
∨¿2
，
¿AD
⃗
∨¿1
，且
∠BAD=60∘
，则
AP
⃗
⋅CP
⃗
=¿
_____
___________．
15. 已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2个红球、3个黑球和 5个白球，现从该箱中有放回地依次取出 3
个小球．则 3个小球颜色互不相同的概率是 ；若变量
ξ
为取出 3个球中红球的个数，则
ξ
的数学期望
E(ξ)
为 。
三、解答题（本大题共 5小题，共 75 分）
16.
△ABC
中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，
c .
已知 ．
¿
Ⅰ
¿
求角 B的大小；
¿
Ⅱ
¿
设
a=2
，
c=3
，求 b和 的值．
17. 如图，
AD/¿BC
且
AD=2BC
，
AD⊥CD
，
EG /¿AD
且
EG=AD
，
CD /¿FG
且
CD=2FG
，
DG ⊥
平面 ABCD，
DA=DC =DG=2
．
(1)
若M为CF 的中点，N为EG 的中点，求证：
MN /¿
平面 CDE；
(2)
求二面角
E − BC − F
的正弦值；
(3)
若点 P在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为
60 °
，求线段 DP 的长．
18. 设椭圆
x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的左焦点为 F，上顶点为
B .
已知椭圆的短轴长为 4，离心率为
❑
√
5
5
．
¿
Ⅰ
¿
求椭圆的方程；
¿
Ⅱ
¿
设点 P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M为直线 PB 与x轴的交点，点 N在y轴的负半轴
上．若
¿ON ∨¿∨OF∨¿
为原点
¿
，且
OP⊥MN
，求直线 PB 的斜率．
19. 已知
{an}
为等差数列，前 n项和为
Sn(n∈N∗)
，
{bn}
是首项为 2的等比数列，且公比大于 0，
b2+b3=12
，
b3=a4−2a1
，
S11=11b4
．
¿
Ⅰ
¿
求
{an}
和
{bn}
的通项公式；
¿
Ⅱ
¿
求数列
{a2nb2n− 1}
的前 n项和
(n∈N∗).
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