上海市长宁区2021届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题含答案

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长宁区 2020 学年第二学期高三数学教学质量检测试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸
上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分）考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 设集合 ， ，则 .
2. 复数 满足 （ 为虚数单位），则 .
3. 已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 .
4. 若向量 ， ，则向量 与 的夹角为__________．
5. 若实数 满足 ，则 的最小值为 .
6. 函数 的最小正周期为__________．
7. 在公差不为零的等差数列 中， 是 与 的等比中项，则 　．
8. 在二项式 的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率
是 .
9. 设数列 的前 项和为 ， ， ，则 .
10. 定义域为 的奇函数 ，在 上单调递减. 设 ，若对于任意
，都有 ，则实数 的取值范围为 .
11. 设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，且不是椭圆的
顶点. 若 ，且 ，则实数 的值为 ．
12. 在 中， ， ，若 的面积为 ，则 .
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确选项．考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 设 （ ），则“ 图像经过点 ”是“
是偶函数”的（ ）.
A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件 ；
C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.
14. 直线 的参数方程是 ，则
l
的方向向量
d

可以是（ ）.
A．
(1, 2)
； B．
( 2,1)
； C．
(2,1)
； D．
(1, 2)
.
15. 设正四棱柱 的底面边长为 1，高为 2，平面 经过顶点 ，且与棱
、 、 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面 共有（ ）个.
A．1； B．2； C．3； D．4.
16. 已知函数 与 满足：
对任意 ，都有 .
命题 ：若 是增函数，则 不是减函数；
命题 ：若 有最大值和最小值，则 也有最大值和最小值.
则下列判断正确的是（ ）.
A. 和 都是真命题 B. 和 都是假命题
C. 是真命题， 是假命题 D. 是假命题， 是真命题
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要
的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图， 是圆柱的一条母线， 是圆柱的底面直径， 在圆柱下底面圆周上，
是线段 的中点. 已知 ， .
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 6分）
设.
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，若方程 有两个解，求 的取值范围.
19．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
某种生物身体的长度 （单位：米）与其生长年限 （单位：年）大致关系如下：
（其中 （ 为自然对数的底 2.71828…），该生物出生时 ）.
（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过 8米（精确到 0.1）；
（2）该生物出生 年后的一年里身长生长量 可以表示为 ，
求 的最大值（精确到 0.01）.
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