上海市长宁区2021届高三高考二模数学试卷 含解析

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2021 年上海市长宁区高三高考数学二模试卷
一、填空题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝（﹣1，3），B＝[0，4），则 A∪B＝　
　 ．
2．复数 z满足 （i为虚数单位），则|z|＝　
　 ．
3．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是　
　 ．
4．若向量 ， ，则向量 与 的夹角为　
　 ．
5．若实数 x、y满足 ，则 z＝2x﹣y的最小值为　
　 ．
6．函数 的最小正周期为　
　 ．
7．在公差不为零的等差数列{an}中，a3是a1与a9的等比中项，则 ＝　
　 ．
8．在二项式（1+x）5的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是
．
9．设数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，an+1＝Sn，则 ＝　
　 ．
10．定义域为 R的奇函数 y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．设 g（x）＝xf（x），若对于
任意 x∈[1，2]，都有 g（2+x）≤g（ax），则实数 a的取值范围为　
　 ．
11．设 F1、F2分别为椭圆 Γ： ＝1的左、右焦点，点 A、B在椭圆 Γ上，且不是椭圆
的顶点．若 ＝ ，且 λ＞0，则实数 λ的值为　
　 ．
12．在△ABC 中，AC＝2， ，若△ABC 的面积为 2，则 AB＝　
　 ．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确选项．考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设 f（x）＝xα（α∈{﹣2， ﹣1，，，1，2}），则“ y＝f（x）图象经过 点（﹣
1，1）”是“y＝f（x）是偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．直线 l的参数方程是 ，则 l的方向向量 可以是（　　）
A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（2，1）D．（1，﹣2）
15．设正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为 1，高为 2，平面 α经过顶点 A，且与棱
AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面 α共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知函数 y＝f（x）与 y＝g（x）满足：对任意 x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|
g（x1）﹣g（x2）|．
命题 p：若 y＝f（x）是增函数，则 y＝f（x）﹣g（x）不是减函数；
命题 q：若 y＝f（x）有最大值和最小值，则 y＝g（x）也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（　　）
A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题
C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题
三、解答题（共有 5题，满分 76 分）
17．如图，AA1是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是线
段A1C的中点．已知 AA1＝AC＝4，BC＝3．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：BC⊥AM．
18．设 ．
（1）若 ，求 f（x）的值；
（2）设 ，若方程 有两个解，求 φ的取值范围．
19．某种生物身体的长度 f（x）（单位：米）与其生长年限 x（单位：年）大致关系如下：
（其中 t＝e﹣0.5（e为自然对数的底 2.71828…），该生物出生时 x＝0）．
（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过 8米（精确到 0.1）；
（2）该生物出生 x年后的一年里身长生长量 g（x）可以表示为 g（x）＝f（x+1）﹣
f（x），求 g（x）的最大值（精确到 0.01）．
20．（16 分）设双曲线 Γ：y2﹣ ＝1的上焦点为 F，M、N是双曲线 Γ上的两个不同的点．
（1）求双曲线 Γ的渐近线方程；
（2）若|FM|＝2，求点 M纵坐标的值；
（3）设直线 MN 与y轴交于点 Q（0，q），M关于 y轴的对称点为 M′．若 M′、F、N
三点共线，求证：q为定值．
21．（18 分）数列{an}满足：a1＝1，an∈N*，且对任意 n∈N*，都有 an＜an+1 ，a2n﹣1+a2n＝
4an．
（1）求 a2，a3，a4；
（2）设 dn＝an+1﹣an，求证：对任意 n∈N*，都有 dn≠1；
（3）求数列{an}的通项公式 an．
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