上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案

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松江区 2020 学年度第二学期期末质量监控试卷
高一数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）2021．06
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）
在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4分，第 7~12 题每题 5分）考生应在答题纸的相
应位置直接填写结果．
1．计算 ______．（ 为虚数单位)
2．已知向量 ， ，若 ，则实数 的值是______．
3．复数 为纯虚数（ 为虚数单位），其中 ，则 ______．
4．已知 ，则 ______．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为 ，半径 ，则扇形的周长为______ ．
6．化简： ______．
7．在 中，若 ，则 的形状是______三角形．
8．函数 的部分图像如图所示，则 ______．
9．已知 ，向量 ， ，当 取到最大值时， 的值是______．
10．已知 、 满足 ， 在 方向上的数量投影为 ，则 的最小值为______．
11．如图， 是线段 外一点， ， ， 是线段 的垂直平分线 上的动点，则
的值为______．
12．已知函数 ， ，若 的所有零点依次记为 ， ，
，…， ，且 ，则 ______．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应
位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若 ，则（ ）
A．B．C．D．
14．要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个单位； B．向左平移 个单位；
C．向右平移 个单位； D．向右平移 个单位
15．欧拉公式 （ 为虚数单位， ， 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的
地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：
① ；②
其中所有正确结论的编号是（ ）
16．设函数 和函数 的图像公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，
，…， ，若 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题满分 76 分)本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤．
17．(本题满分 14 分)本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
（1）已知角 终边上有一点 的坐标是 ，其中 ，求 的值．
(2)证明恒等式： ．
18．(本题满分 14 分)本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
已知复数 ， （ ， 是虚数单位）．
(1)若复数 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 的取值范围；
(2)若虚数 是实系数一元二次方程 的根，求实数 的值．
19．(本题满分 14 分)本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分．
东西向的铁路上有两个道口 、 ，铁路两侧的公路分布如图， 位于 的南偏西 15°，且位于 的南偏东
15°方向， 位于 的正北方向， ， 处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，
发现北偏东 45°方向的 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 1分钟，救护
车和火车的速度均为 ．
(1)判断救护车通过道口 是否会受火车影响，并说明理由；
(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 、 中的哪个道口？通过计算说明．
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