上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市松江区高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7~12 题每题 5分）
1．计算：i2021＝　
　 （i为虚数单位）．
2．已知向量 ， ，若 ，则实数 x的值是　
　 ．
3．复数 z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数（i为虚数单位），其中 m∈R，则|z|＝　
　 ．
4．已知 tanα＝4，则 ＝　
　 ．
5． 已 知 一 扇 形 的 弧 所 对 的 圆 心 角 为 60° ， 半 径 r＝20cm ， 则 扇 形 的 周 长 为
cm．
6．化简： ＝　
　 ．
7．在△ABC 中，若 c＝2acosB，则△ABC 的形状是 　
　 三角形．
8．函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤ ）的部分图象如图所示，则
f（x）＝　
　 ．
9．已知 x∈[0，π]，向量 ＝（sinx，1）， ＝（2，cosx），当 取到最大值时，x的值
是 　
　 ．
10．已知 、 满足| |＝4， 在 方向上的数量投影为﹣2，则|﹣3 |的最小值为 　
　 ．
11．如图，O是线段 AB 外一点，|OA|＝3，|OB|＝2，P是线段 AB 的垂直平分线 l上的动点，
则 • 的值为 　
　 ．
12．已知函数 f（x）＝4sin（2x﹣ ），x∈[0，]，若 F（x）＝f（x）﹣3的所有零
点依次记为 x1，x2，x3，…，xn，且 x1＜x2＜x3＜…＜xn，则 x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝
．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若 tanα＜0，则（　　）
A．sinα＜0 B．cosα＜0 C．sin2α＜0 D．cos2α＜0
14．要得到函数 y＝sin（2x﹣ ）的图象，只需要将函数 y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
15．欧拉公式 eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然对数的底数）是由瑞士著名数
学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关
系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个
结论：
①eiπ+1＝0；②（cos +isin ）（cos +isin ）....（cos ）＝
i．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错D．①错②对
16．设函数 y＝cos2x（x≥0）和函数 y＝cos10x（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依
次为 x1，x2，x3，…，xn，若 tan（x3﹣α）＝cosx4，则 sin2α的值为（　　）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写岀必要的步骤．
17．（1）已知角 α终边上有一点 P的坐标是（3a，﹣4a），其中 a＞0，求 2sinα+cosα的
值；
（2）证明恒等式： ＝ ．
18．已知复数 z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数 z1﹣ 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 a的取值范围；
（2）若虚数 z1是实系数一元二次方程 x2﹣6x+m＝0的根，求实数 m的值．
19．东西向的铁路上有两个道口 A、B，铁路两侧的公路分布如图，C位于 A的南偏西
15°，且位于 B的南偏东 15°方向，D位于 A的正北方向，AC＝AD＝2km，C处一辆救护
车欲通过道口前往 D处的医院送病人，发现北偏东 45°方向的 E处（火车头位置）有一
列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 1分钟，救护车和火车的速度均为
60km/h．
（1）判断救护车通过道口 A是否会受火车影响，并说明理由；
（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 A、B中的哪个道口？通过计算说明．
20．（16 分）已知函数 f（x）＝sin2x+2cos2x+2，x∈[0，]．
（1）求函数 y＝f（x）的值域；
（2）求函数 y＝f（x）单调递减区间；
（3）若不等式 mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数 m的取值范围．
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