上海市上海师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海师大附中高一（下）期末数学试卷
一、填空题（共 12 小题）.
1． ＝　
　 ．
2．若 1+i（i是虚数单位）是关于 x的实系数方程 x2+px+q＝0的根，则 pq＝　
　 ．
3． ＝　
　 ．
4．已知等差数列{an}的各项不为零，且 a3、a13、a63 成等比数列，则公比是　
　 ．
5．已知向量 ， ，若向量 ∥ ，则实数 m＝　
　 ．
6．某天，一个班级只有四门学科教师都布置了晚自习作业，晚自习上，在同一时刻 3名学
生都做作业的可能情形有 　
　 种（用数字作答）．
7． （1+ + +……+）＝　
　 ．
8．2010 年上海世博会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从
事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其
余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有　
　 种．
9． 在 无 穷 等 比 数 列 {an}中 ， 若 ， 则 a1的 取 值 范 围 是
．
10．市内某公共汽车站有 10 个候车位（成一排），现有 4名乘客随便坐在某个座位上候车，
则恰好有 5个连续空座位的候车方式共有　
　 种．（用数字作答）
11．5名奥运火矩手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火
矩手，则不同的分派方法共有 　
　 种（用数字作答）．
12．我们把一系列向量 （i＝1，2，…，n）按次序排成一列，称之为向量列，记作
， 已 知 向 量 列 满 足 ＝ （ 1，1） ，
，设 θn表示向量 与 的
夹角，若 bn＝ 对任意正整数 n，不等式 （1
﹣2a）恒成立，则实数 a的取值范围是　
　 ．
二、选择题（共 4小题）.
13．在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•2•3•…•（2n﹣1）（n∈N*）时
从k到k+1，左端需要增加的代数式是（　　）
A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．
14．从 7人中选派 5人到 10 个不同岗位的 5个中参加工作，则不同的选派方法有（　　）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
15．复数 z满足|z﹣3i|＝2（i为虚数单位），则复数 z﹣4模的取值范围是（　　）
A．[3，7] B．[0，5] C．[0，9] D．以上都不对
16．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为 ai，ai+1 的矩形的周长（i＝1，2，…），
则“数列{An}为等差数列”的充要条件是（　　）
A．{an}是等差数列
B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或 a2，a4，…，a2n，…是等差数列
C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和 a2，a4，…，a2n，…都是等差数列
D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和 a2，a4，…，a2n，…都是等差数列，且公差相同
三、解答题
17．已知 O为直角坐标系原点， 与 垂直， 与 平
行．
（1）求向量 在向量 上的投影；
（2）求 的坐标．
18．已知 f（z）＝ ﹣1，且 f（z1﹣z2）＝4+4i，若 z1＝2﹣2i．
（1）求复数 z1＝2﹣2i的三角形式，并且复数 z1的辐角主值 argz1；
（2）求 |．
19．据相关数据统计，2019 年底全国已开通5G基站13 万个，部分省市的政府工作报告将
“推进5G通信网络建设”列入2020 年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个．
（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000 个，那么，今年底全国共
有基站多少万个．（精确到0.1 万个）；
（2）如果计划今年新建基站60 万个，到 2022 年底全国至少需要 800 万个，并且，今后
新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021 年和 2022 年至少各建多少万个才能完成
计划？（精确到1万个）
20．已知数列{an}的首项为 x（x∈R），前 n顶和为 Sn．
（1）若 Sn＝nan﹣ ，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意 n∈N，n≥1，恒有 ＝k
（其中 k是与正整数 n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）若{an}是无穷等比数列，且公比 q≠﹣1，计算．
21．设数列{an}（n∈N*）中前两项 a1，a2给定，若对于每个正整数 n≥3，均存在正整数
k（1≤k≤n﹣1）使得 an＝ ，则称数列{an}为“Ω数列”．
（1）若数列{an}（n∈N*）为 a1＝1，a2＝﹣ 的等比数列，当n≥3时，试问：an与
是否相等，并说明数列{an}（n∈N*）是否为“Ω数列”；
（2）讨论首项为 a1、公差为 d的等差数列{an}是否为“Ω数列”，并说明理由；
（3）已知数列{an}为“Ω数列”，且 a1＝0，a2＝1，记 S（n，k）＝an﹣1+an﹣2+…+an﹣k，
（n≥2，n∈N*），其中正整数 k≤n﹣1，对于每个正整数 n≥3，当正整数 k分别取
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