上海市嘉定区第一中学2021届高三下学期3月月考数学试题 含答案

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2020-2021 年上海市嘉定一中高三下 3月月考
数学卷
一.填空题（本大题满分 54 分，其中 1-6 题每题 4分，7-12 题每题 5分）
1．不等式
log
√
2|1 1
1x|<0
的解集为___________．
2.已知 ，
,0
2
x
 
 
 
 
，则
tan 2x
__________．
3．.
4．设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 的公比的取值范围
是______．
5． 如 图 是 等 轴 双 曲 线 形 拱 桥 ， 现 拱 顶 离 水 面 ， 水 面 宽
. 若水面下降 ，则水面宽是__________．（结果精确到 ）
6．已知函数 ，若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为_________
_．
7．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为　　．
8.某长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，则该长方体的体积与其外接球的体
积之比为________.
9．已知 是双曲线 的左焦点， ， 是双曲线右支上的动点，则
的最小值为________．
10. 从 这 个整数中任意取 个不同的数作为二次函数 的
B
A
系数，则使得 的概率为 ．
11.设常数 ， ，对于二项式 的展开式，下
列结论中所有正确命题序号的_____
①若 ，则各项系数随着项数增加而减小；
②若各项系数随着项数增加而增大，则 ;
③若 ， ，则第 7项的系数最大；
④若 ， ，则所有奇数项系数和为 239.
12. 设函数 和 的定义域为 ，若存在非零实数 ，使得 ，则称
函数 和 在 D上具有性质 P.
现 有 三 组 函 数 ： ① ， ② ， ③ ，
其中具有性质 P的是__________．
二. 填空题（本大题每题 5分，满分 20 分）
13.下列说法中正确的是 　　
（A） ； （B）若 、 非零向量且 ，则 ；
（C）若 且 ，则 ；（D）若 ，则有且只有一个实数 ，使得 .
14.已知函数 ，则“ ”是“ 的值域为 ”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必 要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身
体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时，顾客方可
进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 (毫克/立方米)与时间 (分钟)之
间的函数关系为 (为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定 10:00
顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
16．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而
也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图” ，
整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线
．给出以下命题：
①当 时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 ,则
；
②当 时，直线 与黑色阴影区域有 个公共点；
③当 时，直线 与黑色阴影区域有 个公共点．
其中所有正确命题的序号是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
三. 解答题（本大题满分 76 题）
17. （本题满分 14 分，其中第（1）小题 6分，第（2）小题 8分）
如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱” .
将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为
S1
、
与
h1
、
h2
.
（1）若
h1=h2=1
, , 求
的值;
（2）若
λ=1
，求证：
S1<S2
；
18. （本题满分 14 分，其中第（1）小题 6分，第（2）小题 8分）
已知函数 ．
（1）求函数 的最大值及此时 x的值；
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