上海市嘉定区2021届高三高考数学三模试卷 含解析

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2021 年上海市嘉定区高考数学三模试卷
一、填空题（共 12 题，1-6 题每个空格填对得 4分，7-12 题每个空格填对得 5分）
1．已知集合 A＝{﹣1，2m﹣1}，B＝{m2}，若 B⊆A，则实数 m＝　
　 ．
2．计算： ＝　
　 ．
3．若复数 z＝（1+i）•i（其中 i为虚数单位），则共轭复数 ＝　
　 ．
4．不等式 ln2x﹣lnx2＜0的解集是　
　 ．
5．已知 x，y满足 ，则 z＝﹣y+2x的最小值为　
　 ．
6．若两个球的表面积之比为 1：4，则这两个球的体积之比为　
　 ．
7．在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，且 ABC 的面积为 ，则∠BAC＝　
　 ．
8． 展开式中的常数项为　
　 ．
9．设椭圆 Γ： ＝1（a＞1），直线 l过Γ的左顶点 A交y轴于点 P，交 Γ于点 Q，
若△AOP 为等腰三角形（O为坐标原点），且 Q是AP 的中点，则 Γ的长轴长等于
．
10．有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各 3个，且每种颜色的 3个小球上分别标注
号码 1、2、3，从中任取 3个球，则取出的 3个球颜色齐全但号码不全的概率是
．
11．若圆 O的半径为 2，圆 O的一条弦 AB 长为 2，P是圆 O上任意一点，点 P满 足
，则 的最大值为　
　 ．
12．已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是⋯20，
接下来的两项是 20，21
再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．若该数列的前 n项和为 2的整数幂，如
， ， ，则称 中的（n，k）为“一对佳
数”，当 n≥100 时，首次出现的“一对佳数”是　
　 ．
二、选择题（共有 4题，选对得 5分，否则一律得零分）
13．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为 l1：a1x+b1y+c1＝0，l2：a2x+b2y+c2＝0，那么
“ ＝0是“两直线 l1，l2平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设抛物线 y2＝8x的焦点为 F，过点 F作直线 l交抛物线于 A，B两点，若线段 AB 的中
点E到y轴的距离为 3，则弦 AB 的长为（　　）
A．等于 10 B．大于 10
C．小于 10 D．与 l的斜率有关
15．曲线 y＝（sinx+cosx）2和直线 在 y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
P1，P2，P3， ，则⋯|P2P4|等于（　　）
A．πB．2πC．3πD．4π
16．设函数 y＝f（x）、y＝g（x）的定义域、值域均为 R，以下四个命题：
①若y＝f（x）、y＝g（x）都是 R上的递减函数，则 y＝f（g（x））是 R上的递增函数；
②若y＝f（x）、y＝g（x）都是奇函数，则 y＝f（g（x））是偶函数；
③若y＝f（g（x））是周期函数，则 y＝f（x）、y＝g（x）都是周期函数；
④若y＝f（g（x））存在反函数，则 y＝f（x）、y＝g（x）都存在反函数．
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（满分 76 分，共有 5题）
17．如图，在四棱雉锥 P﹣ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，
∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝AP＝2，BC＝1，且 Q为线段 BP 的中点．
（1）求直线 CQ 与PD 平面所成角的大小；
（2）求直线 CQ 与平面 ADQ 所成角的大小．
18 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A，B，C的 对 边 分 别 为 a、b、c， 且 2cos2cosB﹣sin （A﹣
B）sinB+cos（A+C）＝﹣ ．
（1）求 cosA的值；
（2）若 a＝4，b＝5，求 B和c．
19．数学建模小组检测到相距 3米的 A，B两光源的强度分别为 a，b，异于 A，B的线段
AB 上任意一点 C处的光强度 y等于两光源到该处的强度之和，设 AC＝x米．
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系
数为常数 k（k＞0），测得数据：当 x＝1时， ；当 x＝2时，y＝3k，求 A，B两
处的光强度，并写出函数 y＝f（x）的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常
数k（k＞0），测得数据：当 x＝1时， ；当 x＝2时，y＝2k，问何处的光强度最
弱？并求最弱处的光强度．
20．（16 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x是双曲线 的一条渐近线，
点A（1，0）在双曲线 C上，设 M（m，n）（n≠0）为双曲线上的动点，直线 AM 与y
轴相交于点 P，点 M关于 y轴的对称点为 N，直线 AN 与y轴相交于点 Q．
（1）求双曲线 C的方程；
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