《【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019）》复习案05 抛物线（原卷版）

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复习案 05 抛物线
【知识回顾】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛
物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点 M到准线 l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点 F到准线 l的距离
性
质
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方
程x＝－ x＝y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
开口方
向向右 向左 向上 向下
常用结论：
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
【重点题型剖析】
题型一 抛物线的定义
一、单选题
1．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一
动点 ， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2022·广东·高二阶段练习）图 1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一
部分，已知该卫星接收天线的口径 ，深度 ，信号处理中心 位于焦点处，以顶点 为
坐标原点，建立如图 2所示的平面直角坐标系 ，若 是该拋物线上一点，点 ，则
的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·河南·高二阶段练习）已知抛物线 的焦点为 F，N为C上一点，且 N在第一象
限，直线 与 C的准线交于点 M，过点 M且与 x轴平行的直线与 C交于点 P，若 ，则
直线 的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．D．
4．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习（理））已知点 是抛物线 的焦
点，点 分别是抛物线上位于第一､四象限的点，若 ，则
（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．（2021·山西·太原市外国语学校高二期中）已知抛物线 与直线 相
切， 为 上任意一点， 到 的准线的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A．B．C．2 D．
6．（2022·重庆·高二阶段练习）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一动点，定点
，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．9
二、多选题
7．（2022·河北·邯郸市永年区第二中学高二阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 F，准线为
，过点 F的直线与抛物线交于 ， 两点，点 在 上的射影为 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若 ，则
B．以 为直径的圆与准线 相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线 C有且仅有一个公共点的直线至多有 2条
8．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）平面内到定点 和到定直线 的距离相
等的动点的轨迹为曲线 .则（ ）
A．曲线 的方程为
B．曲线 关于 轴对称
C．当点 在曲线 上时，
D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离
9．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知抛物线 C： ，点 F是抛物线 C的
焦点，点 P是抛物线 C上的一点，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 C的准线方程为
B．若 ，则△PMF 的面积为 2
C．|的最大值为
D．△PMF 的周长的最小值为
10．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为 F，过点 F的直线
l交抛物线于 A，B两点，以线段 AB 为直径的圆交 y轴于 M，N两点，设线段 AB 的中点为 P，O为
坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若 ，则直线 AB 的斜率为
C．若抛物线上存在一点 到焦点 F的距离等于 3，则抛物线的方程为
D．若点 F到抛物线准线的距离为 2，则 的最小值为
三、填空题
11．（2022·上海浦东新·一模）已知抛物线 的焦点为 ，在 C上有一点 满足
，则点 到 轴的距离为______.
12．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知抛物线 上有两动点 ， ，线段 的中
点 到 轴距离的是 2，则线段 长度的最大值为______.
四、解答题
13．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知抛物线 上一点 到
焦点 的距离为 4.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过焦点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 , , 为坐标原点，设直线 ， 的斜率分别为 ，
，求证： 为定值.
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