《备战2023年浙江杭州中考数学真题模拟题分类汇编》专题15 【五年中考+一年模拟】二次函数综合题（解析版）

3.0 cande 2025-05-17 15 4 2.7MB 38 页 3知币
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专题 15 二次函数综合题
1．（2022•杭州）设二次函数 ， 是常数）的图象与 轴交于 ， 两点．
（1）若 ， 两点的坐标分别为 ， ，求函数 的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数 的表达式可以写成 是常数）的形式，求 的最小值．
（3）设一次函数 是常数），若函数 的表达式还可以写成 的形式，
当函数 的图象经过点 ， 时，求 的值．
【答案】见解析
【详解】（1） 二次函数 过点 、 ，
，即 ．
抛物线的对称轴为直线 ．
（2）把 化成一般式得，
．
， ．
．
把 的值看作是 的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
当 时， 的最小值是 ．
（3）由题意得，
．
函数 的图象经过点 ， ，
．
，或 ．
即 或 ．
2．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数 ， 是常数， ．
（1）若该函数的图象经过 和 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组 ， 的值，使函数 的图象与 轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知 ，当 ， ， 是实数， 时，该函数对应的函数值分别为 ， ．若
，求证： ．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意，得 ，
解得 ，
所以，该函数表达式为 ．
并且该函数图象的顶点坐标为 ．
（2）例如 ， ，此时 ，
，
函数 的图象与 轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得 ， ，
所以
，
由条件 ，知 ．所以 ，得证．
3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数 ， ， 是实数，
．
（1）若函数 的对称轴为直线 ，且函数 的图象经过点 ，求函数 的表达式．
（2）若函数 的图象经过点 ，其中 ，求证：函数 的图象经过点 ， ．
（3）设函数 和函数 的最小值分别为 和 ，若 ，求 ， 的值．
【答案】见解析
【详解】（1）由题意，得到 ，解得 ，
函数 的图象经过 ，
，
解得 或 ，
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