云南省三校2023届高三下学期开学考试数学试卷 PDF版含解析

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２０２３ 届云南三校高考备考实用性联考卷 (五)
数　学
注意事项:
１􀆰 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚.
２􀆰 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎬ如需改动ꎬ用橡皮
擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效 􀆰
３􀆰 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回 􀆰满分 １５０ 分ꎬ考试用时 １２０ 分钟 􀆰
一、单选题 (本大题共 ８小题ꎬ每小题 ５分ꎬ共４０ 分ꎬ在每小题给出的选项中ꎬ只有一个选项
是符合题目要求的)
１.已知集合 Ａ＝{ｘｘ－２ <３}ꎬ Ｂ＝{ｘｌｏｇ２ｘ≤２}ꎬ 则Ａ∩Ｂ＝
Ａ. {ｘ－１<ｘ≤４} Ｂ. {ｘ０<ｘ≤４}
Ｃ. {ｘ－１<ｘ<５} Ｄ. {ｘ０<ｘ<５}
２.已知向量 ａ
→ꎬｂ
→满足 ａ
→＝２ꎬ ｂ
→＝(１ꎬ ３ )ꎬ 且(ａ
→＋２ｂ
→)⊥ａ
→ꎬ则向量 ａ
→ꎬｂ
→的夹角为
Ａ. π
６Ｂ. π
３
Ｃ. ２π
３Ｄ. ５π
６
３.若复数 ｚ满足 ｚ(１＋ｉ)＝２ｉꎬ 则ｚ＋ｉｚ
－＝
Ａ. ４ ５ Ｂ. ４ ２
Ｃ. ２ ５ Ｄ. ２ ２
４.已知等比数列{ａｎ}的ｎ前项和为 Ｓｎꎬ若Ｓ３
Ｓ６
＝８
９ꎬａ２＋ａ５＝５４ꎬ 则ａ６＝
Ａ. ３ Ｂ. ６
Ｃ. １２ Ｄ. １４
５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为 ３ꎬ ４ꎬ 母线长为 ５ ２ ꎬ若该圆台的上下底面圆的圆周均
在球 Ｏ的球面上ꎬ则球 Ｏ的体积为
Ａ. ２５０
３π Ｂ. ５００
３π
Ｃ. １００
３π Ｄ. １２５
３π
６.已知 ａꎬｂꎬｃ∈(０ꎬ ＋∞)ꎬ 且ａ＝ｅａ－１ꎬ ｌｎｂ＝１
ｂꎬｃｅｃ＝１ꎬ 则ａꎬｂꎬｃ的大小关系是
Ａ. ｃ<ｂ<ａＢ. ａ<ｂ<ｃ
Ｃ. ｃ<ａ<ｂＤ. ｂ<ａ<ｃ
７.已知双曲线 Ｃ:ｘ２
ａ２－ｙ２
ｂ２＝１(ａ>０ꎬ ｂ>０)的焦距为 ２ｃꎬ它的两条渐近线与直线 ｙ＝２(ｘ－ｃ)的交点
分别为 ＡꎬＢꎬ若Ｏ是坐标原点ꎬＯＢ
→􀅰ＡＢ
→＝０ꎬ 且△ＯＡＢ 的面积为１０
３ꎬ则双曲线 Ｃ的焦距为
Ａ. ５ Ｂ. ５ Ｃ. ５
２Ｄ. ２５
４
８.设ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ ωｘ －π
６
æ
è
çö
ø
÷(ω>０).若∃ｘ１ꎬｘ２∈ ０ꎬ π
２
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
úꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ使得 ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ －２ꎬ 则ω
的最小值是
Ａ. ２ Ｂ. ７
３Ｃ. ３ Ｄ. １３
３
二、多选题 (本大题共 ４小题ꎬ每小题 ５分ꎬ共２０ 分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项是符合
题目要求的.全部选对的得 ５分ꎬ部分选对的得 ２分ꎬ有选错的得 ０分)
９.若ｘ２－１
ｘ
æ
è
çö
ø
÷
ｎ
的展开式中第 ４项与第 ５项的二项式系数相等ꎬ则下列说法正确的是
Ａ. ｎ＝８ Ｂ. ｎ＝７
Ｃ. 展开式中含 ｘ２项的系数为 ３５ Ｄ. 展开式中各项系数和为 ２７
１０.如图 １ꎬ 在正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬ点Ｐ是底面 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１(含边界)内一动点ꎬ且ＡＰ∥
平面 ＤＢＣ１ꎬ则下列选项正确的是
　图１
Ａ. Ａ１Ｃ⊥ＡＰ
Ｂ. 三棱锥 Ｐ－ＢＤＣ１的体积为定值
Ｃ. ＰＣ⊥平面 ＢＤＣ１
Ｄ. 异面直线 ＡＰ 与ＢＤ 所成角的取值范围为 π
３ꎬπ
２
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
１１.已知抛物线 Ｃ:ｙ２＝８ｘ的焦点为 Ｆꎬ其准线与 ｘ轴相交于点 Ｍꎬ经过点 Ｍ且斜率为 ｋ的直线
ｌ与抛物线相交于 Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ Ｂ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ则下列结论中正确的是
Ａ. ｙ１ｙ２＝４ｘ１ｘ２
Ｂ. ｋ的取值范围是(－１ꎬ １)
Ｃ. ｋ＝２
２时ꎬ以ＡＢ 为直径的圆经过点 Ｆ
Ｄ. 若△ＡＢＦ 的面积为 １６ ２ ꎬ 则直线 ＡＢ 的倾斜角为 π
６或５π
６
１２.已知 ｆ(ｘ)是定义在 Ｒ上的奇函数ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(２－ｘ)ꎬ ｆ(１)＝２ꎬ 设ｇ(ｘ)＝ｘｆ(ｘ＋１)ꎬ 则
Ａ. 函数 ｆ(ｘ)的周期为 ４ Ｂ. ｆ(２０２２) ＋ｆ(－２０２３)＝２
Ｃ. ｇ(ｘ)是偶函数 Ｄ. 􀰐
５０
ｋ＝１ｇ(ｋ)＝ －５２
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三、填空题 (本大题共 ４小题ꎬ每小题 ５分ꎬ共２０ 分)
１３.２０２２ 年１０ 月１６ 日至 １０ 月２２ 日ꎬ党的二十大在北京顺利召开ꎬ为深入学习宣传贯彻党的二
十大精神ꎬ某单位随机抽取了部分党员ꎬ对他们一周的 “二十大”学习时间进行了统计ꎬ
统计数据如下表所示:
“二十大”学习时间 (小时) ７ ８ ９ １０ １１
党员人数 ６ １０ ９ ７ ８
　 　 则可估计该单位党员一周学习 “二十大”的时间的第 ７０ 百分位数是　　　　　.
１４.已知点 Ｐ(－１ꎬ ２)和圆 Ｃ: (ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝ｒ２(ｒ>０)ꎬ 过点 Ｐ的一束光线射向坐标原点ꎬ经
ｘ轴反射后与圆 Ｃ相切ꎬ则ｒ＝　 　 　 　 　 　 .
１５.已知直线 ｙ＝ａｘ＋ｂ与曲线 ｙ＝ａｌｎｘ＋２相切ꎬ则ａ２＋３ｂ２的最小值为　　　　　.
１６.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现: “平面内到两个定点 Ｍꎬ
Ｎ的距离之比为定值 λ(λ≠１ꎬ λ>０) 的点的轨迹是圆”.后来ꎬ人们将这个圆以他的名字命
名ꎬ称为阿波罗尼斯圆ꎬ简称阿氏圆.在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬＭ(－２ꎬ ０)ꎬ Ｎ(４ꎬ ０)ꎬ
点Ｐ满足 ＰＭ
ＰＮ ＝１
２.则点 Ｐ的轨迹方程为　 　 　 　 　 　 　 ꎻ 在三棱锥 Ｓ－ＡＢＣ 中ꎬＳＡ⊥平面
ＡＢＣꎬ且ＳＡ ＝３ꎬ ＢＣ ＝６ꎬ ＡＣ ＝２ＡＢꎬ该三棱锥体积的最大值为　 　 　 　 　 　 .(第一空 ２分ꎬ
第二空 ３分)
四、解答题 (共７０ 分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)
１７.(本小题满 １０ 分)
已知数列{ａｎ}的前 ｎ项和为 Ｓｎꎬａ１＝１ꎬ ａ２＝３ꎬ 且ａｎ＋１＝２ａｎ－ａｎ－１(ｎ≥２).
(１) 求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ
(２) 设ｂｎ＝(－１) ｎＳｎꎬ求数列{ｂｎ}的前 ｎ项和 Ｔｎ.
１８.(本小题满 １２ 分)
在△ＡＢＣ 中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对应的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ且满足ｃｏｓＡ
ａ＝ｂ－４ｃｏｓＣ
４ｃ.
(１) 求ａ的值ꎻ
(２) 若ＡＤ⊥ＢＣ 于Ｄꎬ且ＡＤ ＝２ ３ ꎬ 求角 Ａ的最大值.
１９.(本小题满 １２ 分)
如图 ２ꎬ 在三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ点Ｅ在棱 ＢＢ１上ꎬ点Ｆ在棱 ＣＣ１上ꎬ且点 ＥꎬＦ均不是
棱的端点ꎬＡＢ ＝ＡＣꎬＢＢ１⊥平面 ＡＥＦꎬ且四边形 ＡＡ１Ｂ１Ｂ与四边形 ＡＡ１Ｃ１Ｃ的面积相等.
　图２
(１) 求证:四边形 ＢＥＦＣ 是矩形ꎻ
(２) 若ＡＥ ＝ＥＦ ＝２ꎬ ＢＥ ＝３
２ꎬ求平面 ＡＢＣ 与 平 面 ＡＥＦ 夹 角 的 余
弦值.
２０.(本小题满 １２ 分)
在抗击新冠肺炎疫情期间ꎬ作为重要防控物资之一的防护服是医务人员抗击疫情的保障ꎬ我
国企业依靠自身强大的科研能力ꎬ自行研制新型防护服的生产.
(１) 防护服的生产流水线有四道工序ꎬ前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响ꎬ第
四道是检测工序ꎬ包括红外线自动检测与人工抽检ꎬ红外线自动检测为次品的会被自动淘
汰ꎬ合格的进入流水线并由工人进行抽查检验.已知在批次 Ｉ的成品防护服的生产中ꎬ前三
道工序的次品率分别为 ｐ１＝１
３５ꎬｐ２＝１
３４ꎬｐ３＝１
３３ꎬ第四道红外线自动检测显示为合格率为
９２％ꎬ求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下ꎬ人工抽检也为合格品的概率
(百分号前保留两位小数)ꎻ
(２) ① 已知某批次成品防护服的次品率为 ｐ(０<ｐ<１)ꎬ 设３件该批次成品防护服中恰有 １件
不合格品的最大概率为 ｐ０ꎬ在多次改善生产线后批次 Ｊ的防护服的次品率 ｐＪ＝ｐ０×９％ꎬ请从
次品率的角度比较 (１) 中的批次 Ｉ与批次 Ｊ防护服的质量ꎻ
②某医院获得批次 Ｉꎬ Ｊ 的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计ꎬ正常使用这两
个批次的防护服期间ꎬ该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图 ３所示ꎬ请完善下
面的 ２×２列联表ꎬ并依据小概率值 α＝０􀆰 ００１ 的独立性检验ꎬ分析能否认为防护服的质量与
感染新冠肺炎病毒有关联?
　图３
核酸检测结果
防护服批次
Ｉ Ｊ
合计
呈阳性
呈阴性
合计
附:χ２＝ｎ(ａｄ－ｂｃ)２
(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)(ａ＋ｃ)(ｂ＋ｄ).
α＝Ｐ(χ２≥ｘα)０􀆰 ０５０ ０􀆰 ０１０ ０􀆰 ００５ ０􀆰 ００１
ｘα３􀆰 ８４１ ６􀆰 ６３５ ７􀆰 ８７９ １０􀆰 ８２８
２１.(本小题满 １２ 分)
在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ已知椭圆 Ｃ:ｘ２
ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为 ２
２ꎬ且过点 １ꎬ ６
２
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷.
　图４
(１) 求椭圆 Ｃ的方程ꎻ
(２) 如图 ４所示ꎬ动直线 ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍ(ｍ≠０)交椭圆 Ｃ于ＡꎬＢ两
点ꎬ交ｙ轴于点 Ｍ. 点Ｎ是Ｍ关于 Ｏ的对称点ꎬ ☉Ｎ的半径为
ＮＯ . 设Ｄ为ＡＢ 的中点ꎬＤＥꎬＤＦ 与☉Ｎ分别相切于点 ＥꎬＦꎬ
求∠ＥＤＦ 的最小值.
２２.(本小题满 １２ 分)
已知函数 ｆ(ｘ)＝ａｘ－ａｘ(ａ>０ 且ａ≠１).
(１) 当ａ＝ｅ时ꎬ求函数 ｆ(ｘ)的极值ꎻ
(２) 讨论 ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ １)上的水平切线的条数.
数学参考答案·第 1页（共 10 页）
2023 届云南三校高考备考实用性联考卷（五）
数学参考答案
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B C A D
【解析】
1．{|1 5}Ax x∵，{|0 4}Bx x≤，{|0 4}AB x x
 ∴≤
，故选 B.
2．2
(2) (2) 2 0aba abaa ab  
 

∵，∴，则 2ab 
，又 ||||cosab ab a b


，
<>
，
所以 21
cos 22 2
||||
ab
ab ab

<，>= ，夹角为 2π
3，故选 C.
3．因为 1i
z，1i
z ，i22i
zz，所以 |i|4422
zz  ，故选 D.
4．设等比数列{}
n
a的公比为 0qq
，，若 1q，则 3
6
18
29
S
S ，与题意矛盾，所以 1q，
由
3
1
3
63
1
6
3
251
(1 )
18
1
(1 ) 19
1
(1 ) 54
aq
Sq
aq
Sq
q
aaaq q

  
，
，
解得
196
1
2
a
q
，
，所以 5
61 3aaq ，故选 A.
5．设球心 O到上底面的距离为 h，球半径为 R，则易知圆台的高为 7，由
22
22
9
16 (7 )
Rh
Rh


，
，
解得 45hR
，，所以外接球的体积 3
4500
ππ
33
VR，故选 B.
6．令 1
() e
x
f
xx

，则 1
() e 1
x
fx
 
，故当 (0 1)x，时， () 0fx ，当 (1 )x
，时， () 0fx
，
故()
f
x在(0 1)
，上单调递减，在 (1 ) 
，上单调递增，且 (1) 0f，故方程 1
ea
a
的解为
1a；令 () ln 1
g
xxx
，() ln 1
g
xx 
，当 (1 )x
，时， () 0gx ，故 ()
g
x在(1 )
，
上单调递增，且当 (0 1)x，时， () 0gx，(1) 1 0g ，而 () ln 1 0gb b b ，故 1b；
e1
c
c
∵，1
e1
c
c

，01c∴，故 cab ，故选 C.（本题亦可以用数形结合来做）
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