2023届云南省昆明市第一中学高三第八次月考 数学答案和解析

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昆明一中 2023 届高三第八次联考
数学参考答案
命题、审题组教师
杨昆华
彭力
顾先成
莫利琴
孙思应
梁云虹
丁茵
张远雄
崔锦
秦绍卫
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D A D B B（D也给分）
1. 解析： ，所以 ，所以 ，选 C.
2. 解析：依题意 ，所以 ，所以 ，则 ，选 A.
3. 解析：对物理感兴趣的同学占 ，对历史感兴趣的同学占 ，这两组的比例数据都包含了既对物
理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比
例为 ，则对物理或历史感兴趣的同学的比例是 ，即 ，即 ，选
C．
4. 解析： ，若先满足项 中的次数，则可以写出 ，其中
展开式的通项为 ，令 得，所以项 的系数
为，选D．
5. 解析：由残差 得，即 ，所以 ①，又 ，，因
为回归直线 经过中心点（ ，）， 所 以 ②， 联立①②解得 ，所以
，选 A．
6. 解析：由题意， ，由 得，又 ，所以 ，
选D.
7. 解析：设△的外接圆的圆心为 ，则 ,根据抛物线的定义及圆心 在 上
得，即 ，又由 得，所以 ，即 ，选 B．
8. 解析：由已知得： ，，连接 并延长，交 于点 ，
则，即二面角 的平面角为 ，
{ }
1
2, ,1,2,4
2
x
Byy xA==Î=
ìü
íý
îþ
{ }
1, 2AB=!
( )
1,4
2
BAB=ìü
íý
îþ
!
22
44iz=-=
2iz=±
2z=
( )
( )( )
21 i
2
1i
1i 1i 1i1i
z+
== =+
-- -+
56% 74%
x
56%+74% x-56%+74% 90%x-==40%x
( ) ( )
6
6
22
+= +xxy xx y
éù
--
ëû 7
xy
y
( )
5
12
6
Cx x y-
( )
5
2
xx-
( )
( ) ( )
5
2 10
15 5
1
rrr
rrr
r
TCx x Cx
--
+=-=-
10 7r-=3r=
7
xy
( )
3
13
65
1 = 60CC×- -
!
iii
eyy=-
!
!
7
0.6 35 y-=-
!
735.6y=
!
35.6 7ba=+
!
4x=
23y=
!
ybxa=+
!xy
!
23 4ba=+
!
!
=6.2 =4.2ab
!
，
!
=10.4ab+!
( )
2π
sin 2
3
fx x
j
æö
=++
ç÷
èø
( )
00f=2ππ
3
k
j
=-+
( )
kÎZπ π
22
j
-<< π
3
j
=
AOF
( )
00
,Bx y
3BO BF BA===
B
C
03
2
p
BF x=+= 03
2
p
x=-
BO BF=
04
p
x=3=
24
pp
-=4p
OA OB OC== PA PB PC== CO
AB
D
PD AB CD AB^^，
PABC-- PDCÐ
第 2 页 （共 7 页）
由正三角形 ABC 的边长为 ，则
由三棱锥 P﹣ABC 为正三棱锥，
则三棱锥 P﹣ABC 的外接球的球心 M在直线 上，
由已知可得三棱锥 P﹣ABC 的外接球的半径为 ，
由，解得 ， ， ，
所以 .
同理，外接球的球心 M在三棱锥 P﹣ABC 外时， .所以本题选 BD 均给分.
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 ABD AD BCD AC
9. 解析：指标值 的样本频率是 ，指标值在区间 的产品约有
件，选项 A正确；
抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：
，
，
选项 BD 正确；
由直方图可得出，从第一组至第七组的频率依次是 ，所以指标值
的第 百分位数在 内，设它等于 ，则 ，解得
，选项 C错误；所以选ABD．
10. 解析：对于 A，，且 ，所以 ，则 ，A正确；
对于 B，当 时， ，B错误；
对于 C，在△中，由 得，即 ,同理 ，,
则 为△ 的垂心，C错误；
对于 D，由 知，由 知，则 △为等边三角形，
D正确；所以选AD.
23
22OC OD ，==
PO
32
2
222
MC MO OC=+
2
2
MO =
22PO =
3PD =
1
cos
3
PDCÐ=
3
cos
3
PDCÐ=
xÎ
[
)
205, 215
10 0.024=0.24´
(
]
205, 215
200 0.24=48´
170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200x=´+´+´+´+´+´+´＝
( ) ( ) ( )
2
222
222
30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 150s-´ +-´ +-´ +´+´+´ ´= + ＝
0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02， ， ， ， ， ，
60
[
)
195, 205
m
( ) ( )
195 0.033=0.6 0.02+0.09+0.22m-´ -
203.18m»
( ) ( )
,4 1,2AB x AC==-
!!" !!!"
，AB AC
!!" !!!"
‖
24x=-2x=-
0AB AC×>
!!" !!!" π
0
2
BAC£Ð <
ABC
OA OB OB OC×=×
!!" !!" !!" !!!"
0OB CA×=
!!" !!"
OB CA^OC BA^OA BC^
OABC
( )
0AB AC BC+×=
!!" !!!" !!!"
AB AC=
1
2
AB AC
AB AC
×=
!!" !!!"
!!" !!!" π
3
BACÐ=
ABC
第 3 页 （共 7 页）
11. 解析：由 ，得 ，当 时， ；当 时， ，
函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增. 时， ；
时， ；, ,结合函数的图象，A错误，所以选BCD.
12. 解析：对于 A：，因 为 ，，且 ，
所以 ，，所以当 时， ，A正确；
对于 B：，所以 ，B错误；
对于 C：
，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以等号不成立，C正确；
对于 D：因为 ，，且 ，所以 ，，令 ，，则 ，
，D错误，所以选AC.
三、填空题
13. 解析： ，，两边同时平方可得 ，故 .
14. 解析：过 作交于点 ，连接 ，
由已知可得 ， ， ，
又由 ，可得 ，所以 ，
所以 ，可求得： ， ， .
15. 解析：将抛物线 化为 ，准线 ，
所以椭圆 的一个焦点 ，即 ，
由 与 的一个交点为 得，即 ，联立 解得 ，
所以椭圆 的长轴长 ．
16. 解析：由题意， 在上恒成立，即 恒成
立，令 ，即 在上恒成立，设 ，函数
( ) ( )
1e
x
fx x=+
( ) ( )
2e
x
fx x
¢=+
2x=-
( )
20f¢-=
2x<-
( )
0fx
¢<
( )
fx
2x>-
( )
0fx
¢>
( )
fx x®-¥
( )
0fx®x®+¥
( )
fx®+¥
( )
2
1
2
e
f-=-
( )
10f-=
22 22 2 2
21
(1 2 ) + 5 4 1 5( +
55
ab bb b b b+=-=-+= -）
0a>0b>21ab+=
01a<<
1
0
2
b<< 2
5
b=22
1
5
ab+³
212 3
1(01)
11 1
ba a
aa a
+-
==-+ <<
++ +
12 1
2
21
b
a
+
<<
+
12 13
bbabbab
ab b ab b ab b
++
+= + = + +³
++ +
abb+= abb+¹
0a>0b>21ab+= 01a<<
1
0
2
b<< 1
2
a=1
4
b=
1
21
e
4
-
>
1
ea
b-
<
8
1 cos sin
5
qq
-+= 3
sin cos
5
qq
-=9
1 sin 2
25
q
-=16
sin 2
25
q
=
P
PO AD^OBO
PO ABCD^平面
PO BO^PO BD^
AP BD^
BD PAD^平面
BD AD^
26AD =2PO == 14OB
=4PB
2
1
4
yx=24xy=1ly=-：
22
22
: 1 ( 0)
yx
Cab
ab
+= >>
( )
01F-，
1c=
lC
(2, )Am
2
2
b
a
=22ba=2
222
1
2
c
ba
abc
=
ì
ï=
í
ï=+
î
21a=+
C
2222a=+
( ) ( )
13
cos 2 1 sin 0
22
fx x a x
¢=+-+³
R
( )
2
sin 1 sin 2 0xa x-+-+³
[ ]
sin 11tx=Î-，
( )
2120tat-+-+³
[ ]
11tÎ-，
( ) ( )
212gt t a t=-+-+
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