江苏省徐州市沛县2024届高三上学期期初模拟测试（一）数学答案和解析

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数学期初模拟测试（一）参考答案：
1．C
∵A=
{
x
|
x2≤4
)
)
=[−2,2]
，
B=
{
x
|
x∈N∗
)
且x −1∈A
)
，
∴B={1,2,3 }
,
2．A设
z2=a+bi
(
a , b ∈R
)
，
因为
z2
2=2 i
，所以
a2− b2+2ab i=2i
，
∴
{
a2− b2=0
2ab=2
)
解得
或
{
a=−1
b=−1
)
所以
z2=1+i
或
z2=−1−i
.
因为
z1+z2=iz1
，所以
z1=z2
−1+i
当
z2=1+i
时，
z1=1+i
−1+i=
(
1+i
) (
−1−i
)
(
−1+i
) (
−1−i
)
=−i
，则
|
z1
)
=1
；
当
z2=−1−i
时，
z1=−1−i
−1+i=
(
−1−i
) (
−1−i
)
(
−1+i
) (
−1−i
)
=i
，则
|
z1
)
=1
；
3．C因为
α
，
β
均为锐角，所以
0<α<π
2
，
0<β<π
2
.
当
α>2β
时，
π
2>α − β >β>0
，
由函数
y=sin x
在
(
−π
2,π
2
)
上单调递增，所以
sin(α − β )>sin β
，
故“
α>2β
”是“
sin(α − β )>sin β
”的充分条件.
当
sin(α − β )>sin β
时，由
0<α<π
2
，
0<β<π
2
，则
−π
2<− β<0
，所以
−π
2<α − β <π
2
，
因为函数
y=sin x
在
(
−π
2,π
2
)
上单调递增，所以
α − β>β
，即
α>2β
，
故“
α>2β
”是“
sin(α − β )>sin β
”的必要条件.
综上所述，“
α>2β
”是“
sin(α − β )>sin β
”的充分必要条件.
4．A设小锥体的底面半径为
r
，大锥体的底面半径为
2r
，小锥体的高为
ℎ
，大锥体的高为
为
2ℎ
，
则大圆锥的体积即为
1
3π(2r)2⋅2ℎ=1
，整理得
1
3π r2⋅ℎ=1
8
，
即小圆锥的体积为
1
8
所以该圆台体积为
1−1
8=7
8
5．D设上面的六棱柱的底面面积为 S，高为 ，由上到下的三个几何体体积分别记为
，
则 ，
，
，
所以

6．C因为
α∈
(
0,π
2
)
,cos 2 α
1+tan2α=3
8
，
可得
3
(
1+tan2α
)
=8×sin2α −cos2α
sin2α+cos2α=8×1−tan2α
1+tan2α
，
可得
3
(
1+tan2α
)
2=8−8 tan2α
，
解得
tan2α=1
3
，因为
α∈
(
0,π
2
)
，所以
tan α=❑
√
3
3
，所以
α=π
6
，所以
cos
(
α+π
6
)
=cos π
3=1
2
.
7．A
因为直角三角形
ABC
为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系，
其中
C
(
0,0
)
, A
(
2,0
)
, B
(
0,2
)
，
而以
AB
为直径的圆的方程为：
x
(
x −2
)
+y
(
y − 2
)
=0
，
整理得到：
(
x − 1
)
2+
(
y − 1
)
2=2
，
设
M
(
m, n
)
，则
⃗
CM =
(
m, n
)
,
⃗
CA=
(
2,0
)
，故
⃗
CM ⋅
⃗
CA=2m
，
因为
M
在半圆上运动变化，故
0≤ m≤ 1+❑
√
2
，
故
⃗
CM ⋅
⃗
CA
的取值范围为：
[
0,2+2❑
√
2
)
，
8．C设
f
(
x
)
=ln x
x
,则
f′
(
x
)
=1−ln x
x2
,
当
x>e
时,
f′
(
x
)
<0
,函数单调递减,当
0<x<e
时,
f′
(
x
)
>0
,函数单调递增,
故当
x=e
时,函数取得最大值
f
(
e
)
=1
e
,
因为
a=2
(
2−ln2
)
e2=
ln e2
2
e2
2
=f
(
e2
2
)
,
b=ln 2
2=ln 4
4=f
(
4
)
,c=1
e=f
(
e
)
,
∵e<e2
2<4
,
当
x>e
时,
f′
(
x
)
<0
,函数单调递减,可得
f
(
4
)
<f
(
e2
2
)
<f
(
e
)
,
即
b<a<c
.
9．AC 对于 A，
⃑
a+
⃑
b=
(
3, −1
)
，由
(
⃑
a+
⃑
b
)
⋅
⃑
a=3×1+
(
−1
)
×3=0
，则
(
⃑
a+
⃑
b
)
⊥
⃑
a
，故 A正
确；
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