湖北省部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷 Word版含答案

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湖北省部分重点中学 2025 届高三第一次联考
高三数学试卷
命题学校：武汉市武钢三中 命题教师：李雪瑞 审题教师：费运良
考试时间：2024 年11 月11 日下午 14：00-16：00 试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合， ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知 为虚数单位，若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
3．已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知角 ， 满足 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
5．已知函数 在区间 上有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．将正奇数按照如图排列，我们将 ， ， ， ， ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为
（ ）
A．55 B．77 C．91 D．113
7．已知等腰梯形的上底长为 1，腰长为 1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，
则该几何体表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇函数，且 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C．D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知正实数 满足 ，则 的可能取值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 的直线 与双曲线 的右支交于 两
点． 的内心为 的内心为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为 2
B．直线 的斜率的取值范围为
C． 的取值范围为
D．
11．在正三棱锥 中， ， ，三棱锥 的内切球球心为 ，顶点 在
底面 的射影为 ，且 中点为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为 3
B．二面角 的余弦值为
C．球 的表面积为
D．若在此三棱锥中再放入一个球 ，使其与三个侧面及内切球 均相切，则球 的半径为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12．已知点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，直线 与准线相交于点 ，则线段
的长度为______．
13．已知直线 与曲线 相切，则实数 的值为______．
14．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办
公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家．如果天不下雨，那么
他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为 ，不下雨的概率均为 ，且与过去情况相互独立．
现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知数列 为等比数列，数列 满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式：
（2）数列 满足 ，记数列 的前项和为 ，求 ．
16．（15 分）
如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， ， ，将 沿 折成直二面角 ，求直线
与平面 所成角的正弦值．
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