广东省2022-2023学年高三下学期3月一模数学答案

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书

数学模拟测试（一）参考答案　第１　　　　页（共８页）

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２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（一）

数学参考答案

评分标准：

１．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

２．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应

得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

３．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

题号１２３４５６７８

答案ＢＣＤＤＣＢＡＣ

二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。

题号９１０１１１２

答案ＢＤＡＣＤＡＤＢＣ

三、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。请把答案填在答题卡的相应位

置上。

１３．π

３　　１４．－槡

３３

５或槡

３

( )

７　　１５．２４　　１６．５

四、解答题：本大题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

１７．解：（１）因为ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ－ｃｏｓ２Ｃ＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，

所以１－２ｓｉｎ２Ａ＋１－２ｓｉｎ２Ｂ－（１－２ｓｉｎ２Ｃ）＝１－２ｓｉｎＡｓｉｎＢ，１分

!!!!!!

整理得ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ，２分

!!!!!!!!!!!!!!!!

由正弦定理得ａ２＋ｂ２－ｃ２＝ａｂ，３分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

由余弦定理得ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２

２ａｂ＝１

２，４分

!!!!!!!!!!!!!!!!

因为Ｃ∈（０，π

），所以Ｃ＝π

３．５分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

数学模拟测试（一）参考答案　第２　　　　页（共８页）

（２）ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ２π

３－

( )

Ａ＋槡

３

２６分

!!!!!!!!!!!!

＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎ２π

３ｃｏｓＡ－ｃｏｓ２π

３ｓｉｎＡ＋槡

３

２

＝３

２ｓｉｎＡ＋槡

３

２ｃｏｓＡ＋槡

３

２

槡

＝３ｓｉｎＡ＋π

( )

６＋槡

３

２，８分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

在△ＡＢＣ中，因为Ｃ＝π

３，所以０＜Ａ＜２π

３，９分

!!!!!!!!!!!!!!

所以 π

６＜Ａ＋π

６＜５π

６，所以１

２＜ｓｉｎＡ＋π

( )

６≤１，所以槡槡

３＜３ｓｉｎＡ＋π

( )

６＋槡

３

２≤槡

３３

２，

所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ的取值范围为槡

３，槡

３３

(

]

２．１０分

!!!!!!!!!!

１８．解：（１）当ｎ＝１时，ａ２

１＝２Ｓ１－ａ１＝ａ１，所以ａ１＝１或ａ１＝０（舍去），１分

!!!

当ｎ≥２时，有ａ２

ｎ＝２Ｓｎ－ａｎ，

ａ２

ｎ－１＝２Ｓｎ－１－ａｎ－１

{

，２分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

两式相减得ａ２

ｎ－ａ２

ｎ－１＝２ａｎ－ａｎ＋ａｎ－１＝ａｎ＋ａｎ－１，３分

!!!!!!!!!!!

整理得（ａｎ＋ａｎ－１）（ａｎ－ａｎ－１）＝ａｎ＋ａｎ－１，４分

!!!!!!!!!!!!!!!

因为｛ａｎ｝的各项都是正数，所以ａｎ－ａｎ－１＝１，

所以｛ａｎ｝是首项为１，公差为１的等差数列，５分

!!!!!!!!!!!!!

所以ａｎ＝１＋１· （ｎ－１）＝ｎ．６分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

（２）由（１）得Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）

２，则１

Ｓｎ＝２

ｎ（ｎ＋１）＝２１

ｎ－１

ｎ

( )

＋１，７分

!!!!!!!

所以Ｐｎ＝１

Ｓ１＋１

Ｓ２＋…＋１

Ｓｎ＝２１－１

２＋１

２－１

３＋…＋１

ｎ－１

ｎ

( )

＋１＝２１－１

ｎ

( )

＋１，

８分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

由（１）得１

ａ２ｎ－１＝１

２ｎ－１，９分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

所以Ｑｎ＝１

ａ１＋１

ａ２＋１

ａ２２…＋１

ａ２ｎ－１＝１＋１

２＋１

２２＋…＋１

２ｎ－１＝１－

( )

１

２ｎ

１－１

２＝２１－１

２

( )

ｎ，

１０分

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

因为２ｎ＝（１＋１）ｎ＝１＋ｎ＋ｎ（ｎ＋１）

２＋…＞１＋ｎ＞０（ｎ≥２），

所以１

２ｎ＜１

１＋ｎ，故１－１

２ｎ＞１－１

１＋ｎ，

数学模拟测试（一）参考答案　第３　　　　页（共８页）

所以当ｎ≥２时，Ｐｎ＜Ｑｎ．１２分

!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

１９．解：（１）如图，取ＢＣ中点Ｈ，连接ＥＨ，因为ＥＢ＝ＥＣ，所以ＥＨ⊥ＢＣ，１分

又因为平面ＢＣＥ⊥平面ＢＣＤ，平面ＢＣＥ∩平面ＢＣＤ＝ＢＣ，

ＥＨ平面ＢＣＥ，所以ＥＨ⊥平面ＢＣＤ，２分

!! ! ! ! ! !

同理可得ＡＧ⊥平面ＢＣＤ，

所以ＥＨ∥ＡＧ，３分

!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

又因为ＡＧ平面ＢＣＥ，ＥＨ平面ＢＣＥ，所以ＡＧ∥平面

ＢＣＥ，４分

!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

因为点Ｆ，Ｇ分别是ＣＤ，ＢＤ中点，所以ＦＧ∥ＢＣ，

又因为ＦＧ平面ＢＣＥ，ＢＣ平面ＢＣＥ，所以ＦＧ∥平面ＢＣＥ，５分

!! ! ! ! !

又因为ＡＧ∩ＦＧ＝Ｇ，ＡＧ，ＦＧ平面ＡＦＧ，所以平面ＡＦＧ∥平面ＢＣＥ．６分

（２）方法一：因为ＢＣ⊥ＢＤ，ＢＣ／／ＦＧ，所以ＦＧ⊥ＢＤ，

由（１）知ＡＧ⊥ＢＤ，ＡＧ⊥平面ＢＣＤ，ＧＦ平面ＢＣＤ，所以

ＡＧ⊥ＧＦ，

所以ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ两两相互垂直，７分

!!!!!!!

如图，以点Ｇ为坐标原点，ＧＦ，ＧＢ，ＧＡ分别为ｘ轴，

ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，

因为ＡＢ槡

＝２，ＢＥ槡

＝５，所以ＧＡ＝ＧＢ＝１，ＥＨ＝２，ＢＨ＝１，

则Ａ（０，０，１），Ｃ（２，１，０），Ｅ（１，１，２），８分

!! ! !

平面ＡＦＧ的一个法向量为 →



ＤＢ＝（０，２，０），９分

!!!

设平面ＡＣＥ的法向量为ｎ

→＝（ｘ，ｙ，ｚ），

由→



ＡＣ＝（２，１，－１）， →



ＣＥ＝（－１，０，２），

得ｎ

→·→



ＡＣ＝０，

ｎ

→·→



ＣＥ＝０

{

，即２ｘ＋ｙ－ｚ＝０，

－ｘ＋２ｚ＝０

{

，解得ｙ＝－３ｘ

２，

ｚ＝ｘ

２

{

，取ｘ＝２，得ｎ

→＝（２，－３，１），

１０分

!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

设平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角为 θ，

则ｃｏｓ θ＝ｃｏｓ＜ｎ

→，→



ＤＢ＞＝ｎ

→·→



ＤＢ

ｎ

→·→



ＤＢ＝６

槡

２ × １４＝槡

３１４

１４，

所以平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角的余弦值为槡

３１４

１４．１２分

!! ! ! ! ! ! ! !

方法二：因为平面ＡＦＧ∥平面ＢＣＥ，所以平面ＡＦＧ和平面ＡＣＥ的夹角即二面角

Ａ－ＣＥ－Ｂ．

如图，过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＥ，垂足为点Ｍ，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＥＣ交ＢＥ于点Ｎ，则

∠ＡＭＮ为二面角Ａ－ＣＥ－Ｂ所成平面角．７分

!!!!!!!!!!!!!!!

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