广东梅州2022-2023学年高二上学期期末数学试题参考答案与评分标准

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梅州市高二第一学期期末联考（2023.1）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
6
14.
8
15.
14
2
16.
3
3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）因为数列
 
2
n
a n
是等比数列，而依题意：
12 1 3 2 1a  
，
22 2 7 4 3a   
， .......................1 分
所以数列
 
2
n
a n
是首项为
1
、公比为
的等比数列， .......................2 分
所以
1
2 3n
n
a n
 
， .......................4 分
从而
1
=3 +2
n
n
a n
........................5 分
（2）数列
 
n
a
的前
n
项和为：
0 1 1
1 2
= (3 2) (3 4) (3 2 )
n
nn a a aS n
       … …
.......................6 分
0 1 1
(3 3 3 ) (2 4 2 )
nn
     … …
.......................8 分
2
3 1
2 2
n
n n  
（答案对而未化简的，不扣分） .......................10 分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
D
A
D
B
B
C
9
10
11
12
BC
ABC
AD
AD
18.（本小题满分 12 分）
解：（1）因为圆
C
经过原点
O
和点
(2, 0)P
，所以圆心
C
在
OP
的中垂线
1x
上， .......2 分
又因为圆心
( , )C a b
在直线
:m y x
上，联立方程：
1
y x
x
， .................3 分
解得：
1
1
a
b
， .......................4 分
从而得：半径
2 2
(1 0) (1 0) 2r  
， .......................5 分
所以圆 C的方程为
2 2
( 1) ( 1) 2x y  
．.......................6 分
（2）依题意可设直线 l的方程为
y x t 
，.......................7 分
由垂径定理和勾股定理可知，圆心
(1,1)
到直线 l的距离
2
2 1 1d  （ ）
，....8 分
而圆心
(1,1)
到直线 l的距离
1 1+
2
t
d
，.......................9 分
即有：
1 1+ 1
2
t
，.......................10 分
解得：
2t 
，.......................11 分
所以直线 l的方程为
2y x 
或
2y x 
．（少一种情况扣 2分）.............12 分
19.（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意知动点
M
到
(2,0)F
的距离与它到直线
2x 
的距离相等，
所以动点
M
的轨迹为以
(2,0)F
为焦点、以直线
2x 
为准线的抛物线， .......2 分
因此动点
M
的轨迹方程为
28y x
........................4 分
（2）设
2
,
8
m
M m
 
 
 
,.......................5 分
由两点间的距离公式得：
2
2
2
2 2
2 4 1
| | 6 36 ( 16 32
8 6 2 64 )
4
m m m
MA m m
 
 
 
 
，.................7 分
当
216m
，即
4m 
时， ...................9 分
min
| | 4 2MA
，...................10 分
即当
 
2, 4M
时，点
M
与点
A
的距离最小，最小值为
4 2
．.................12 分
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