2023届广东省深圳市第二次调研考试（二模）数学试题答案
2023 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第1页 共9页
2023 年深圳市高三年级第二次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
2023．4
本试卷 22 小题，满分 150 分。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
D
C
A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BCD
BD
AC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
1
14．
0.82
15．
2
16．
72 16 5−
，
72 2 16 5−
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（ 10 分）
解：（1）∵
sin( ) 2sin 2sin[π( )] sin( )A B C A B A B− = = − + = +
，............................................... 1分
∴
sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B− = +
，
∴
sin cos 3cos sin 0A B A B+=
， ........................................................................................................ 3分
由正弦定理和余弦定理得
2 2 2 2 2 2
30
22
a c b b c a
ab
ac bc
+ − + −
+ =
， .............................................. 4分
化简得
2 2 2
2a b c=+
．........................................................................................................................ 5分
（2）（法 1）在
ABC△
中，由余弦定理得
22 9b c bc+ + =
，....................................................... 6 分
又
2 2 2
29b c a+ = =
，.................................................................................................................. 7 分
∴
3bc==
， ..................................................................................................................................... 8 分
由
3BC BM=
，得
3
a
BM =
，
在
ABM△
中，由余弦定理得
2 2 2
11
( ) 2 cos
33
AM c a c a B= + −
，
∴
1AM =
． ....................................................................................................................................... 10 分
（法 2）在
ABC△
中，由余弦定理得
22 9b c bc+ + =
，................................................................. 6 分
又
2 2 2
29b c a+ = =
，.................................................................................................................. 7 分
2023 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第2页 共9页
∴
3bc==
......................................................................................................................................... 8 分
由
3BC BM=
，得
1BM =
，
过点
A
作
AH BC⊥
于
H
，则
3
2
AH =
，
tan 3
AH
AMH MH
= =
，
π
(0 , )
2
AMH
，
π
3
AMH =
，
21AM MH = =
． ........................................................................................................................... 10 分
18．（ 12 分）
解：（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 4：6，
按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人． ................................. 1分
随机变量
X
的取值为：0，1，2，3．
3
6
3
10
1
( 0) 6
C
PX C
= = =
， .......................................................................................................................... 2分
12
46
3
10
1
( 1) 2
CC
PX C
= = =
， ....................................................................................................................... 3分
21
46
3
10
3
( 2) 10
CC
PX C
= = =
， ..................................................................................................................... 4分
3
4
3
10
1
( 3) 30
C
PX C
= = =
， ......................................................................................................................... 5分
随机变量
X
的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
随机变量
X
的数学期望
1 1 3 1 6
( ) 0 1 2 3
6 2 10 30 5
EX = + + + =
． ............................................. 6分
（2）零假设为
0
H
：爱好飞盘运动与性别无关联． ....................................................................... 7分
根据列联表重的数据，经计算得到
2
20.01
50 (6 24 4 16) 1.299 6.635
10 40 22 28 x
−
= =
， ............. 9分
根据小概率值
0.01
=
的独立性检验，没有充分证据推断
0
H
不成立，因此可以认为
0
H
成立，即认
为爱好飞盘运动与性别无关联． ..................................................................................................... 10 分
列联表中所有数据都扩大到原来的 10 倍后，
2
20.01
500 (60 240 40 160) 12.99 6.635
100 400 220 280 x
−
= =
，
根据小概率值
0.01
=
的独立性检验，推断
0
H
成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联．
所以，结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导
致推断结论发生了变化． ................................................................................................................. 12 分
A
B
C
H
M
（第 17 题图）
2023 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第3页 共9页
19．（ 12 分）
证明：（1）设
AC
的中点为
O
，连接
1
OA
，
OB
，
因为
AB BC=
，所以
AC OB⊥
， ..................................................................................................... 1分
又因为
11
//AC AC
，且
1 1 1
AC AB⊥
，所以
1
AC A B⊥
， .................................................................... 2分
因为
1
AB
，
OB
平面
1
OBA
，且
1
AB OB B=
，
所以
AC ⊥
平面
1
OBA
． ...................................................................................................................... 3分
因为
1
OA
平面
1
OBA
，
所以
1
AC OA⊥
， ................................................................................................................................. 4分
又因为
O
是
AC
的中点，
所以
11
A A AC=
． ................................................................................................................................. 5分
解：（2）（法 1）在
ABC△
中，由余弦定理求得
23AC =
，则
11 23AC AC==
．
因为
1 1 1
AC AB⊥
，所以
2 2 2
1 1 1 1
A B AC BC+=
，解得
12AB=
． ..................................................... 6分
在
1
Rt AOA△
和
Rt AOB△
中，可知
11AO OB==
．
在
1
OBA△
中，
2 2 2
11
OA OB A B+=
，因此
1
AO OB⊥
． ..................................................................... 7分
由（1）知，
1
AO AC⊥
，且
AC
，
OB
平面
ABC
，且
AC OB O=
，
所以
1
AO⊥
平面
ABC
． ..................................................................................................................... 8分
以
OB
，
OC
，
1
OA
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
1(0,0,1)A
，
(1,0,0)B
，
(0, 3,0)C
，
(0, 3,0)A−
．所以
11 (1, 3,0)A B AB==
，
1(0, 3, 1)AC=−
，
( 1, 3,0)BC =−
，
11
(0, 3,1)BB AA==
． ...................................................................................................................... 9分
设平面
11
ACB
的法向量为
1 1 1
( , , )x y z=m
，
则
11
1
0
0
AB
AC
=
=
m
m
，即
11
11
30
30
xy
yz
+=
−=
，
令
13x=
，得
( 3, 1, 3)= − −m
． .............................................................................................. 10 分
设平面
11
BCC B
的法向量为
2 2 2
( , , )x y z=n
，
（第 19 题图）
z
x
y
O
A
1
A
1
C
1
B
C
B
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