2023届广东省梅州市高三总复习质检(一模)数学试题参考答案与评分标准

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第1页 共 9页
梅州市高三总复习质检（2023.2）
数学参考答案与评分意见
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
A
D
D
B
C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。
9
10
11
12
AB
BD
ABD
ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.
40
14.
3
12
15. A；三 16.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：（1）在
ABC
中，因为
bAbBa 2cossin3
，
由正弦定理得：
BABBA sin2cossinsinsin3
， .......................1 分
因为
 
,0B
，所以
0sin B
，于是有
2cossin3 AA
，.......................2 分
所以
1cos
2
1
sin
2
3AA
，即
1)
6
sin(
A
， .......................3 分
因为
 
,0A
，所以
)
6
7
,
6
(
6
A
， .......................4 分
所以
26
A
，从而
3
A
. .......................5 分
第2页 共 9页
（2）因为点
M
是边
BC
上的中点，所以
)(
2
1ACABAM
， .......................6 分
对上式两边平方得：
)cos2(
4
1222 AACABACABAM
， .......................7 分
因为
2AM
，
所以
)
3
cos2(
4
1
422
bcbc
,即
16
22 bccb
， .......................8 分
而
bcbc 2
22
，有
163 bc
，
所以
3
16
bc
，当且仅当
cb
时，等号成立. .......................9 分
因此
3
34
3
sin
3
16
2
1
sin
2
1
AbcS ABC
. .......................10 分
即
ABCV
面积的最大值为
3
34
.
18.（本小题满分 12 分）
解：数列①②的前
n
项和数列有界，数列③的前
n
项和数列无界，证明如下：
①若
1
( )
2
n
n
a
，则其前
n
项和
1 1
(1 ) 1
2 2 1
12
12
n
n
n
S
 
， .....................2 分
因为
*n N
，所以
1
0 1
2n
 
，则
1
1 1
2n
n
S 
， .....................4 分
所以存在正数 1，
*n N 
，
1
n
S
，
即
1
( )
2
n
 
 
 
前
n
项和数列
 
n
S
有界......................6 分
②若
2
1
n
bn
，当
2n
时，
2
1 1 1 1
( 1) 1
n
bn n n n n
 
 
， .....................2 分
其前
n
项和
1 2
1 1 1 1
11 2 2 3 3 4 ( 1)
nn b b b n
Tn
 
 
1 1 1 1 1
1 (1 ) ( ) ( )
2 2 3 1n n
 
1
2n
 
， .....................4 分
第3页 共 9页
因为
*n N
，所以
1
0 1
n
 
，则
1
2 2
nn
T 
， ....................5分
所以存在正数 2，
*n N 
，
2
n
T
，
即
2
1
n
 
 
 
前
n
项和数列
 
n
T
有界.....................6分
③若
1
n
cn
，其前
n
项和为
n
R
，
2
1 1 1 1 1 1 1
12 3 4 5 8 9 2
nn
R      
1
1 1
242
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 4 4 8 8 8 8 2 2 1 2
n
n n n
 
    
 
个个个
1 1 1 1 1
1 + + 1
2 2 2 2 2
n
n   
个
， ......................2 分
对于任意正数
M
，取
2([ ] 1)n M 
（其中
[ ]M
表示不大于
M
的最大整数），
有
2
1
1 2([ ] 1) [ ] 2
2
nM MR M 
， ......................4 分
因此
1
n
 
 
 
前
n
项和数列
 
n
R
不是有界的.......................6 分
19.（本小题满分 12 分）
（1）证明：取
AC
中点
M
，连接
MF
,
MB
，
因为在正三角形
ABC
中，
ACMB
，
又因为
ACED
，所以
DEMB //
，................1 分
MB
平面
DEA
1
，
DE
平面
DEA
1
，
所以
//MB
平面
DEA
1
， ......................2 分
又有
MDCM 2
，且
1
2FACF
，所以
1
// DAMF
，
而
MF
平面
DEA
1
，
DA
1
平面
DEA
1
，所以
//MF
平面
DEA
1
...................3 分
有
MMBMF
，
所以平面
//MFB
平面
DEA
1
， .......................4 分
又
BF
平面
MFB
，
因此
//BF
平面
DEA
1
........................5 分
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