2023届广东省广州市华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题（正式稿）答案(正式稿)

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数学试题参考答案第 1页，共 7页
2023 届高三综合测试
数学参考答案
一、 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
B
D
B
C
C
二、 选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9
10
11
12
AB
BC
AD
BCD
三、 填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
10xy− − =
（写成
1yx=−
亦可） 14．42
15．
11 91
182
16．
3 ( 1)
2
nn
−−
四、 解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）
( )
31
3sin cos o 6
2 sin c s 2sin
22
π
f x x x x x x
 


= − = − = −





， …1 分
因为函数
( )
fx
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
所以
1
2T
=
，则
2πT=
，所以
22
ππT
==
，解得
1
=
，
所以
( )
n6
2si π
f x x

=−


． ……3 分
由
22
2 6 2
k x k
 

− +  − +
，
kZ
，解得
2
22
33
k x k


− +   +
，
kZ
因此
( )
fx
的单调增区间是
2
2 , 2
33
kk



− + +


，
kZ
. ……5 分
（2）由
( )
2sin 6
π
f x x

=−


，函数
( )
fx
的图象关于
,0
2
π



对称，
所以
26
π π πk
−=
，
Zk
，所以
1
23
k
=+
，
Zk
， ……7 分
由
,3
0π
x


，
0
，则
,
663 6
π π π π
x

−  − −


，
又函数
( )
fx
在
0, 3
π



上单调，所以
2
0
36
π π π
−
，解得
02

， ……9 分
由
1
0 2 2
3
k + 
解得
0k=
，此时
1
3
=
. ……10 分
18.解：（1）当
1n=
时，
1
1 2 4S
. ……1 分
又因为
n
aZ
，所以
11a=
.
数学试题参考答案第 2页，共 7页
设
1 ( 1)
n
a n d= + −
，则
( 1)
2
n
nn
S n d
−
=+
. ……2 分
依题意，
22
2 ( 1) ( 1)n n n n d n + −  +
，……3 分
得
2
(1 ) 2 0
( 1) 1 0
d n d
d n dn
− + − 
− − − 
恒成立 ……4 分
解得
1d=
， ……5 分
所以，
n
an=
. ……6 分
（2）
2
nn
n
b=
1 2 3
2 3 4 1
1 2 3
2 2 2 2
1 1 2 3
2 2 2 2 2
nn
nn
n
T
n
T+
= + + + +
= + + + +
①
②
①-②，得
1 2 3 1 1
1 1 1 1 1 2
1
2 2 2 2 2 2 2
nn n n
nn
T++
+
= + + + + − = −
……9 分
即
2
22
2
nn
n
T+
= −
……10 分
1 ,2 2
n
nn=  +时
，
[ ] 0
n
T=
;
12 ( 1)
2 ,2 1 1 2
2
n
nn
nn
n C C n n
+
 + + = + + +时
，
[ ] 1
n
T=
，
所以
20 19M=
. ……12 分
19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的 70%分位数. ……1 分
由表可知，把 50 个日需求量的数据从小到大排列，
由
70% 50 35=
，日需求量在 24 箱以下的天数为
10 10 15 35+ + =
，
可知，日需求量的样本数据的第 35 项数据为 24，第 36 项数据为 25，
因此，可以估计日需求量的第 70%分位数为
24 25 24.5
2
+=
， ……3分
所以能 70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为 24.5 箱. ……4 分
（2）由（1）知
24 24.5<25t=
，即
024n=
设每天的进货量为 24 箱的利润为
X
，
由题设，每天的进货量为 24 箱，当天卖完的概率为
3
5
，当天卖不完剩余 1箱的概率
1
5
，当
天卖不完剩余 2箱的概率
1
5
，
若当天卖完
24 (100 50) 1200X=  − =
元，
若当天卖不完剩余 1箱
23 (100 50) 1 30 1120X= − −  =
元，
若当天卖不完剩余 2箱
22 (100 50) 2 30 1040X=  − −  =
元， ……6分
所以
31
( ) 1200 (1120 1040) 1152
55
EX = +  + =
元. ……7分
设每天的进货量为 25 箱的利润为
Y
，
由题设，每天的进货量为 25 箱，当天卖完的概率为
3
10
，当天卖不完剩余 1箱的概率
3
10
，
当天卖不完剩余 2箱的概率
1
5
，当天卖不完剩余 3箱的概率
1
5
，
若当天卖完
25 (100 50) 1250Y=  − =
元，
数学试题参考答案第 3页，共 7页
当天卖不完剩余 1箱
24 (100 50) 1 30 1170Y=  − −  =
元，
当天卖不完剩余 2箱
23 (100 50) 2 30 1090Y= − −  =
元，
当天卖不完剩余 3箱
22 (100 50) 3 30 1010Y=  − −  =
元， ……9 分
所以
31
( ) (1250 1170) (1090 1010) 1146
10 5
EY =  + +  + =
元， ……10 分
由于
( ) ( )E Y E X
，
显然每天的进货量 25 箱的期望利润小于每天的进货量为 24 箱的期望利润，
所以店老板应当购进 24 箱. ……12 分
20.（1）证明：连接
,BD
在正方形
ABCD
中
BD AC⊥
,
又
PA ⊥
平面
ABCD
，故
PA BD⊥
而
,PA AC
是平面
PAC
上的两条相交直线，
所以
BD ⊥
平面
PAC
……2 分
在
PBD△
中，
EF
为中位线，故
//EF BD
……3 分
所以
EF ⊥
平面
PAC
.
又
EF
平面
EFG
，
所以平面
EFG ⊥
平面
PAC
……5分
（2）以
,,AB AD AP
所在直线为
,,x y z
轴建立如图空间直角坐标系
A xyz−
，
则
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,0,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,0,2 , 0,2,0 , 1,0,1 , 0,1,1A B C P D E F
，
( ) ( )
1,0,1 , 0,1,1AE AF==
， ……7分
设平面 AEF 的一个法向量为
( )
1 1 1
,,m x y z=
，
则
0
0
AE m
AF m
=
=
，即
11
11
0
0
xz
yz
+=
+=
，
取
( )
1,1, 1m=−
， ……8 分
设
1
(0 1 )
2
PG PC
 
=   ，
，
则
( ) ( ) ( )
0,0,2 2,2, 2 2 ,2 ,2 2AG AP PG AP PC
 
= + = + = + − = −
则
2 2 2 3
62
sin cos , 4 4 (23 2)
1
m AG
 
−
= = =
+ + −
，
整理得
2
12 8 1 0

− + =
，解得
1
6
=
或
1
2
=
（舍去）， ……10 分
故
1
6
PG PC=
,故
G
到平面
PAB
的距离
11
63
h BC==
,
故
12
26
EBG
S BE h=  =
△
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