2023届河南省五市高三第二次联考（二模）数学（文科）答案

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高三数学（文科）参考答案 第 1页 （共 5 页）
2023 年河南省五市高三第二次联考
数学（文科）参考答案
一、选择题：1-6．A D B D C B 7-12．B B D C D B
二、填空题：13．14．
10
15．2 16．[0,1]
三、解答题
17.解：（1）因为当
1n
时，
11,a
当
2n
时，有
1 1
3 4 1,
n n
S a
 
 
又
3 4 1,
n n
S a 
两式相减得
1
3 4 4 ,
n n n
a a a
 
则有
………………………4 分
所以数列
 
n
a
是以 1 为首项、4 为公比的等比数列.所以数列
 
n
a
的通项为
1
4 .
n
n
a
……5 分
（2）由（1）知数列
 
n
a
的前
n
项和
4 1 ,
3
n
n
S
1
1 1
4 4 1
(
( 2) 3( 1) (4 2) (4 2) 3 4 2
n
n
nn n n
n n
a
ba S
 
 
   
1)
4 2
n
………………8 分
所以
1 2 0 1 1 2 1
4 1 1 1 1 1
[( ) ( ) (
3 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2
4 1 1 4
( ) .
3 3 4 2 9
n n n
n
T b b b
   
 
 
 
1)]
4 2
n
所以数列
 
n
b
的前
n
项和
4.
9
n
T
…………………12 分
18.解（1）由题意得
160 170 175 185+190 170 174 175 180+186
176, = 177
5 5
x y
     
 
，……2 分
5
1
52
2 2
1
5156045 5 176 177 156045 155760 285
ˆ0.5
155450 5 176 155450 154880 570
5
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
 
 
 
，
ˆ
ˆ177 0.5 176 89a y bx 
，所以回归直线方程为
0.5 89y x 
， ………………………4 分
令
0.5 89 0x x  
得
178x
，即
178x
时，儿子比父亲高；
令
0.5 89 0x x  
得
178x
，即
178x
时，儿子比父亲矮，
可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高
度的趋势.…………………………6 分
（2）由
0.5 89y x 
可得
 
1 2 3 4 5
=0.5 160+89 169, 174, 176.5, 181.5, 184y y y y y  
，
9
高三数学（文科）参考答案 第 2页 （共 5 页）
所以
5
1
ˆ885
i
i
y
，又
5
1
885
i
i
y
，所以
 
5 5 5 5
1 1 1 1
=ˆ=
ˆ ˆ 0
i i i i i
i i i i
e y y y y
 
 
 
， ………………9 分
结论：对任意具有线性相关关系的变量
1
0
n
i
i
e
，
证明：
 
 
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ
n n n
i i i i i
i i i
e y y y bx a
 
 
 
1 1
ˆ ˆ ˆ
ˆ( ) 0
n n
i i
i i
y b x na ny nbx n y bx
 
  
 
.………12 分
（注：18 题第（2）问若只有最后的证明，同样给满分.）
19.（1）如图，连接 AC，
∵
PA PB
，
APC BPC  
，
PC PC
，∴
PAC PBC≌△ △
，
∴
90PCA PCB  
，即
PC AC
．
∵
PC BC
，
AC BC C 
，
PC
平面 ABCD，
又
AD
平面 ABCD，
PC AD 
． ……………………5 分
（2）取 AB 的中点 E，连接 PE，CE．
∵
PA PB
，∴
PE AB
，由（1）知
AC BC
，∴
CE AB
，
∵
PE CE E 
，∴
AB
平面 PCE，
又
AB
平面 PAB，∴平面
PAB
平面 PCE． ………………………8 分
过C作
CH PE
于H，则
CH
平面 PAB，由条件知
6
2
CH
．
易知
PC CE
，设
CE m
，则
2
3PE m 
，
由
1 1
2 2
PC CE PE CH 
，即
2
6
3 3
2
m m  
，得
3m
，∴
3CE
． …………10 分
∵
PD AD
，
AD PC
，
PC PD P 
，∴
AD
平面 PCD，∴
AD CD
，
又∵
AB CD∥
，∴
AD AB
，∴四边形 AECD 为矩形，∴
3AD CE 
． ………12 分
20.解:（1）由题可知，
 
1
ex
f x a
当
0a
时，
 
0f x
恒成立，
 
f x
单调递增，
00x 
，且
0
1
xae
 
，使
0)
1
()( 1
0
1
0
0
ae
aeaxexf x
，所以
0a
时不符合题意；
当
0a
时，
0)( 1x
exf
，显然成立； ………………………2 分
当
0a
时，令
 
0f x
，解得
 
1 lnx a 
，
易知
 
 
,1 lnx a 
时，
 
f x
单调递减；
 
 
1 ln ,x a  
时，
 
f x
单调递增．
高三数学（文科）参考答案 第 3页 （共 5 页）
若
 
0f x
恒成立，则
 
 
   
1 ln 1 ln ln 0f a a a a a a
 
   
 
，解之得
1 0a 
．
综上可得
a
的取值范围为
 
1,0
． ………………………5 分
（2）由题可知
0x
，令
 
eln sin 1
x
g m m x x
x
 
，可看成关于
m
的一次函数，且单调递增．
当
1m
时，
 
1g m g
，所以若证原不等式成立，即证
eln sin 1 0
x
x x
x  
， ………8 分
因为
ln
ee
x
x x
x
，
ln
eln sin 1 e ln 1 sin
x
x x
x x x x x x
x
   
，
由（1）知
1
e 0
xx
 
，
把x换成
ln 1x x 
易得
 
ln
e ln 1 0
x x x x
 
， ………………10 分
不妨设
 
sinh x x x 
，
 
1 cos 0h x x
 
，所以 h（x）单调递增，
又x>0，故 h（x）>h（0）=0，所以
ln
e ln 1 sin 0
x x x x x x
 
，即原不等式得证．…12 分
（注：20 题第（2）问亦可由
1
x
e x 
放缩并结合正弦函数有界性证明.）
21．解：（1）抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F（0，1）∴c＝1．
∵由对称性可知 P、Q 两点关于 y 轴对称，可设
),
3
62
(0
yP
代入 C1得
3
2
0y
P 在椭圆上，设椭圆下焦点为
F
(0,-1)则
42
FPPFa
解得
2
2, 3a b 
∴椭圆的方程为
2 2
1
4 3
y x
 
. ………………………4 分
（2）设
0 0
( , )M x y
，则
2 2 2
2
0 0 0
0
3
1, 3 .
4 3 4
y x y
x  
联立
2
2 2
4
1
4 3
x y
y x
 
，化为
2
3 16 12 0y y  
，
，解得
2
3
y
，∴
0
2
[ 2, )
3
y 
，
设
1 1
( , )A x y
，
2 2
( , )B x y
，对
24x y
求导，可得
1
2
y x
，
∴切线
,MA MB
的方程分别为：
2 2
1 2
1 1 2 2
1 1
( ), ( )
4 2 4 2
x x
y x x x y x x x   
，…………6 分
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