湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二上期末数学考试试卷答案（岸）

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２０２２~２０２３学年度第一学期期末质量检测
高二数学试卷参考答案
一、
单选题
１．B　　２．D　　３．A　　４．C　　５．A　　６．B　　７．D　　８．D
二、
多选题
９．BCD　　１０．ACD　　１１．ABD　　１２．BCD
三、
填空题
１３．
０
,
π
４
é
ë
ê
êù
û
ú
ú∪３
π
４,
π
é
ë
ê
êö
ø
÷
　　　１４．－２
,
＋¥
( ) 　　　１５．１０５
２１ 　　　１６．４
四、
解答题
１７．
解:(
１
)
设圆心为
C a
,
２
a
( )
a
＞０
( ) ,
则
r
＝
CA
＝
a
－１
( )２＋ ２
a
＋１
( )２＝ ５
a
２＋２
a
＋２＝３
,
解得
a
＝１
,
则圆
C
的方程为
x
－１
( )２＋
y
－２
( )２＝９．
故答案为:
x
－１
( )２＋
y
－２
( )２＝９．
(
２
)
点４
,
３
( ) 在圆外,
①切线斜率不存在时,
切线方程为
x
＝４
,
圆心到直线的距离为
d
＝４－１＝３＝
r
,
满足条件．
②切线斜率存在时,
设切线
l
∶
y
－３＝
k x
－４
( ) ,
即
kx
－
y
－４
k
＋３＝０
,
则圆心到切线的距离
d
＝
k
－２－４
k
＋３
k
２＋１ ＝３
,
解得
k
＝－４
３,
则切线的方程为:
４
x
＋３
y
－２５＝０．
故答案为:
x
－４＝０或４
x
＋３
y
－２５＝０．
１８．
解:(
１
)
∵椭圆的方程为
x
２＋４
y
２＝４
,
∴椭圆的方程为
x
２
４＋
y
２＝１
,
a
２＝４
,
b
２＝１
,
c
２＝３
,
∴
c
＝ ３∵
A
,
B
分别为椭圆
x
２
４＋
y
２＝１的左焦点和右焦点,
∴
A
(
－ ３,
０
),
B
(
３,
０
),
∴|
AB
|＝２ ３,
∴线段
AB
的长度２ ３;
(
２
)
△
ABC
中根据正弦定理得:
AB
sin
C
＝
BC
sin
A
＝
AC
sin
B
＝２
R
(
R
为△
ABC
外接圆半径),
∴sin
A
＝
BC
２
R
,
sin
B
＝
AC
２
R
,
sin
C
＝
AB
２
R
,
∵sin
B
－sin
A
＝１
２sin
C
,
∴
AC
２
R
－
BC
２
R
＝１
２×
AB
２
R
,
∴|
AC
|－|
BC
|＝ １
２|
AB
|＝ ３＜
|
AB
|＝２ ３．
∴
C
点的轨迹是以
A
,
B
为左右焦点的双曲线的右支,
且不包含右顶点,
设该双曲线方程为
x
２
a
２
１
－
y
２
b
２
１
＝１
(
x
＞
a
１)
且
AC
－
BC
＝ ３＝２
a
１,
AB
＝２ ３＝２
c
１,
∴
a
１＝３
２,
c
１＝ ３,
b
２
１＝
c
２
１－
a
２
１＝９
４,
∴顶点
C
的轨迹方程为
４
x
２
３－
４
y
２
９＝１
(
x
＞３
２)
１９．
解:(
１
)
当
n
＝１时,
a
１＝３
;
当
n
≥２时,
a
１＋３
a
２＋５
a
３＋􀆺＋ ２
n
－３
( )
a
n
－１＝３
n
－１
—
１
—
又
a
１＋３
a
２＋５
a
３＋􀆺＋ ２
n
－３
( )
a
n
－１＋ ２
n
－１
( )
a
n
＝３
n
,
上述两式作差 可 得 ２
n
－１
( )
a
n
＝３
n
－３
n
－１ ＝２􀅰３
n
－１,
即
a
n
＝２
􀅰
３
n
－１
２
n
－１ ,
a
１＝３ 不 满 足
a
n
＝
２
􀅰
３
n
－１
２
n
－１ ,
所以
a
n
＝
３
,
n
＝１
２
􀅰
３
n
－１
２
n
－１ ,
n
≥２
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
;
(
２
)
当
n
≥２时,
a
n
＋１－
a
n
＝２
􀅰
３
n
２
n
＋１
－
２
􀅰
３
n
－１
２
n
－１ ＝
８
􀅰
３
n
－１􀅰
n
－１
( )
２
n
－１
( ) ２
n
＋１
( ) ＞０
,
即
a
n
＋１＞
a
n
,
所以,
数列
a
n
{ } 从第二项开始为递增数列,
对任意的
n
∈N∗,
a
n
≥ －１
( )
n
λ
恒成立．
①若
n
为正奇数,
则
a
n
≥－
λ
,
∵
a
１＝３＜
a
３＝
１８
５＜
a
５＜􀆺,
则－
λ
≤３
,
可得
λ
≥－３
;
②若
n
为正偶数,
则
a
n
≥
λ
,
可得
λ
≤
a
２＝２．
综上所述,
－３≤
λ
≤２．
２０．
解:(
Ⅰ)
设
A xA
,
xA
２
( ) ,
B xB
,
xB
２
( ) ,
C xC
,
xC
２
( ) ,
k
AB
＝
xB
２－
xA
２
xB
－
xA
＝
xB
＋
xA
,
同 理
k
CB
＝
xB
＋
xC
,
由
k
CB
＝
xB
＋
xC
＝１
,
∠
ABC
＝９０
°
,
所以
k
AB
＝
xA
＋
xB
＝－１
,
AB
＝
xA
－
xB
( )２＋
yA
－
yB
( )２＝
xA
－
xBxA
＋
xB
( )２＋１,
CB
＝
xC
－
xB
( )２＋
y
C
－
yB
( )２＝
xC
－
xBxC
＋
xB
( )２＋１,
由
AB
＝
CB
,
所以 ２
xB
－１ ＝ ２
xB
＋１ ,
所以
xB
＝０
,
所以
B
０
,
０
( )
(
Ⅱ)
设直线
BC
的斜率为
k
,
由(
Ⅰ)
知,
则
k
CB
＝
xB
＋
xC
＝
k
,
CB
＝
k
２＋１
xC
－
xB
＝
k
２＋１
k
－２
xB
,
直线
BA
的斜率为－１
k
,
AB
＝１
k
２＋１ １
k
＋２
xB
,
由
BA
＝
BC
,
所以
xB
＝
k
３－１
２
k
２＋２
k
,
所以
CB
＝
k
２＋１
xC
－
xB
＝
k
２＋１
k
－２
xB
＝
k
２＋１
k
２＋１
( )
k k
＋１
( ) ,
AB
＝１
k
２＋１ １
k
＋２
xB
＝
k
２＋１
k
２＋１
( )
k k
＋１
( ) ,
S
△
ABC
＝１
２
BA
􀅰
BC
＝１
２􀅰
k
２＋１
k
２􀅰
k
２＋１
( )２
k
＋１
( )２＝
k
２＋１
( )２
２
k
２􀅰
k
２＋１
k
＋１
( )２,
由
a
２＋
b
２≥２
ab
和
a
２＋
b
２≥
a
＋
b
( )２
２得,
S
△
ABC
＝１
２
BA
􀅰
BC
＝１
２􀅰
k
２＋１
k
２􀅰
k
２＋１
( )２
k
＋１
( )２＝
k
２＋１
( )２
２
k
２􀅰
k
２＋１
k
＋１
( )２≥２
k
( )２
２
k
２􀅰
k
＋１
( )
２
２
k
＋１
( )２＝
１
,
当且仅当
k
＝１时取等号,
故△
ABC
的面积的最小值为１．
２１．
解:(
１
)
令
n
＝２
,
得
S
２－３
S
１＝２
,
又
a
１＝
S
１＝１
,
所以
a
２＝４
;
—
２
—
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