湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二下学期期中检测数学试题 答案

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试卷第 1页，共 6页
华中师大一附中 2022—2023 学年度下学期高二期中检测
数学参考答案
一、二选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
C
D
B
C
B
A
BCD
ACD
AC
三、填空题
13．65 14．
1 2]（ ，
15．
1
04
m
16．
2
(0, ]
4
e
四、解答题
17.【详解】（1）解： 因为
2 3 1
nn
Sa
，当
2n
时，可得
11
2 3 1
nn
Sa


，
两式相减，可得
1
2 3 3
n n n
a a a

，即
1
3
nn
aa
，
当
1n
时，可得
1 1 1
2 2 3 1S a a  
，解得
11a
，
1
3
n
n
a
a

所以数列
 
n
a
是首项为
11a
，公比为
3q
的等比数列，
所以
11
13
nn
n
a a q 

.………………………………………………………………（5分）
（2）解：因为
1
3n
n
a
，可得
11
1
3 3 3 1 1
()
( 1)( 1) (3 1)(3 1) 2 3 1 3 1
nn
nn n n n
nn
baa 
 
 
，
所以
0 1 2 1
3 1 1 1 1 1 1
( ) [( ) ( ) ( )]
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
nn
fn
 
 
3 1 1 3 3 1
()
2 2 3 1 4 2 3 1
nn
 

，…………………………………………………（10 分）
18．【详解】解：
(1)以
B
为原点，
AB
所在直线为
x
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为
 
220x py p
，且
 
1,2C
，所以
41p
，即
1
4
p
，
故点
P
所在曲线段
BC
的方程为
 
2
2 0 1y x x  
，
试卷第 2页，共 6页
设
 
 
2
,2 0 1P x x x
是曲线段
BC
上的任意一点，
则在矩形
PMDN
中，
2
22PM x
，
1PN x
，
桌面板的面积为
 
 
   
2
2
2 2 1 2 1 1S x PM PN x x x x    
，
[0,1)x
…（ 6分）
(2)
 
2
4 1 1 2 1 2 1 1 3S x x x x x x
    
，
当
1
03
x
时，
 
0Sx
，此时函数
 
Sx
单调递增，
当
11
3x
时，
 
0Sx
，此时函数
 
Sx
单调递减，………………………………（9分）
所以当
1
3
x
时，
 
Sx
有最大值，
1 64
3 27
S


.………………………………………（11 分）
矩形桌面板的最大面积为
64
27
平方米．………………………………………………（12 分）
19．【详解】（1）当
0a
时，
 
2e
x
f x x
，
 
1e
x
f x x

 
0
0 0 1 = 1ef 
(0) 2f
∴ 切线方程为：
( 2) ( 1)( 0)yx 
，即
20xy  
.…………………………（4分）
（2）因为
 
2
2e 2
xa
f x x x ax 
，
aR
．
所以
 
 
1 e 1 e
xx
f x x ax a x a
     
．
①当
0a
时，令
 
0fx
，得
1x
．
 
fx
在
 
,1
上单调递减；
令
 
0fx
，得
1x
，
 
fx
在
 
1, 
上单调递增．
②当
0ea
时，令
 
0fx
，得
ln 1ax
．
 
fx
在
 
ln ,1a
上单调递减；
令
 
0fx
，得
lnxa
或
1x
．
 
fx
在
 
,ln a
和
 
1, 
上单调递增．
③当
ea
时，
 
0fx
在
xR
时恒成立，
 
fx
在
R
单调递增．
④当
ea
时，令
 
0fx
，得
1 lnxa
．
 
fx
在
 
1,lna
上单调递减；
令
 
0fx
，得
lnxa
或
1x
．
 
fx
在
 
,1
和
 
ln ,a
上单调递增．
综上所述：当
0a
时，
 
fx
在
 
,1
上单调递减，在
 
1, 
上单调递增；
当
0ea
时，
 
fx
在
 
ln ,1a
上单调递减，在
 
,ln a
和
 
1, 
上单调递增；
当
ea
时，
 
fx
在
R
上单调递增；
当
ea
时，
 
fx
在
 
1,lna
上单调递减，在
 
,1
和
 
ln ,a
上单调递增．…（ 12 分）
试卷第 3页，共 6页
20．解析：（1）
( ) cos sin 2 cos( )
4
x x x
f x e x e x e x
 
若
22
2 4 2
k x k
 

 
，即
3
22
44
k x k


 
，
kN
,则；
cos( ) 0,
4
x

( ) 0fx
若
3
22
2 4 2
k x k
 

   
，即
5
22
44
k x k


 
，
kN
,则
cos( ) 0,
4
x

( ) 0fx
；
于是当
*
7
2,
4
x m m N
 
时，
()fx
取得极大值，所以
*
7
2,
4
n
x n n N
 
，此时，
77
22
44
72
( ) cos(2 )
42
nn
n
f x e n e



 
，易知
( ) 0
n
fx
，而
7
2( 1) 4
2
1
7
24
2
()2
() 2
2
n
n
n
n
e
fx e
fx e


是常数，
故数列
 
()
n
fx
是首项为
4
1
2
() 2
f x e
，公比为
2
e
的等比数列．………………（6分）
（2）对一切
*
nN
不等式
()
nn
f x ax
恒成立，即
7
24(
27
)
224
naen
 
恒成立，
等价于
7
24
27
24
n
e
a
n
恒成立，等价于
2n
x
n
e
ax
设
( ) ( 0)
t
e
g t t
t

，则
2
( 1)
() t
et
gt t
，令
( ) 0gt
得
1t
，
当
01t
时，
( ) 0gt
，所以
()gt
在区间
(0,1)
上单调递减；
当
1t
时，
( ) 0gt
，所以
()gt
在区间
(1, )
上单调递增；
因为
1(0,1)x
，且当
2n
时，
1
(1, ), ,
n n n
x x x
 
所以
 
mi 1 2 4
n
94
[ ( )] min ( ) ( ) min ( ) ( ) ( )
4 4 4
n
g x g x g x g g g e
 

 


， ，
因此，
4
4
2ae
，解得
4
22
ae
，
故实数
a
的取值范围是
4
22
( , ]e

．………………………………………………（12 分）
21．【详解】（1）因为椭圆 E的离心率为
2
2
，所以
2
2
c
a
.
又当
T
位于上顶点或者下顶点时，
12
TF F△
面积最大，即
1bc
.
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