湖北省武汉市第一中学2022-2023学年下学期五月月考高一数学试卷答案

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5
高一数学试卷参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
A
D
D
B
C
BCD
ABC
AC
BC
13．9 14．2 15．
28 2
3
16．
6
17．（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面
积与圆柱的一个底面积之和．
圆锥侧面积
 
 
2
1
12 2 2
2
S a a a
 
 
；圆柱侧面积
 
2
22 2 4S a a a
 
 
；圆
2
3
S a
∴几何体表面积为
 
2 2 2 2
1 2 3 2 4 2 5S S S S a a a a
 
 
．
（2）沿
P
点与
Q
点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．
则
2 2
PQ AP AQ 
 
2
2
a a
 
2
1a
 
．
∴
P
、
Q
两点间在侧面上的最短路径长为
2
1a
．
18．(1)因为
cos cos 3 cosb A a B c A 
，
由正弦定理得
sin cos cos sin 3sin cosB A B A C A 
，
∴
 
sin 3sin cosA B C A 
，
∴
sin 3sin cosC C A
．
在
ABC
中，
sin 0C
， ∴
1
cos 3
A
；
(2)由（1）知
1
cos 3
A
，由
2 2
sin cos 1A A 
，
A
为锐角，得
2 2
sin 3
A
，
由余弦定理可知
2 2 2 1
2 3
b c a
bc
 
，因为
2a
，
∴
2 2
3 3 12 2b c bc  
，∴
2 2
2 12 3 3 6bc b c bc  ≥
，即
3bc
，当且仅当
3b c 
时等号
成立，
所以
1sin 2
2
ABC
S bc A 
△
，
ABC
面积的最大值为
2
．
6
19．（1）证明：连接
1
AB
交
1
A B
于点
N
，连接
MN
，
因为四边形
1 1
AA B B
为平行四边形，
1 1
AB A B N 
，则
N
为
1
AB
的中点，
因为
M
为
1 1
B C
的中点，则
1
//MN AC
，
1
AC Q
平面
1
A MB
，
MN
平面
1
A MB
，故
1//AC
平面
1
A MB
．
（2）因为
1
CC ⊥
平面
ABC
，
1
AC
与平面
ABC
所成的角为
1
CAC
，
因为
ABC
是边长为
2
的等边三角形，则
2AC
，
1
CC
平面
ABC
，
AC
平面
ABC
，
1
CC AC 
，则
1
1
tan 2
CC
CAC AC
 
，
所以，
12 4CC AC 
，
1//ACQ
平面
1
A MB
，
1
P AC
，所以点
P
到平面
1
A MB
的距离等于点
1
C
到平面
1
A MB
的距离，
因为
M
为
1 1
B C
的中点，则
1 1 1 1 1
2
1 1 3 3
2
2 2 4 2
A MC A B C
S S  
△ △
，
则
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 3 2 3
4
3 3 2 3
P A MB C A MB B A C M A C M
V V V BB S
 
 
△
．
20．（1）解：因为
cos cosb A a B b c  
，
由余弦定理可得
2 2 2 2 2 2
2 2
b c a a c b
b a b c
bc ac
   
 
，
化简可得
2 2 2
b c a bc 
，由余弦定理可得
2 2 2 1
cos 2 2
b c a
Abc
 
 
，
因为
0 πA 
，所以，
π
3
A
.
（2）解：因为
3
cos 3
B
，则
B
为锐角，所以，
2
23 6
sin 1 cos 1 3 3
B B  
   
 
 
 
，
因为
πA B C 
，所以，
2π
3
C B 
，
所以，
2π 2π 2π 3 3 1 6 1 6
sin sin sin cos cos sin
3 3 3 2 3 2 3 2 6
C B B B
 
  
 
 
，
设
BAD
 
，则
2π
3
CAD
 
，
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