湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（原卷版）

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长郡中学 2023 年下学期高二期中考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 8页.时量 120 分钟.满分 150 分.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1. 若两个不同平面 的法向量分别为 ，则（ ）
A. B. C. 相交但不垂直 D. 以上均不正确
2. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把 个面包分给 个人，
使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线 与直线 垂直，则
A. 3B. C. -3 D.
4. 直三棱柱 中， ， 、 分别是 、 的中点， ，则
与 所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线 C与椭圆 有相同的焦点，一条渐近线的方程为 ，则双曲线 C的标准方程
为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 E： 和圆 F： ，焦点 F作直线 l与上述两曲线自左而右依次交于点
A，C，D，B，则 与
的
乘积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
7. 已知数列 满足 且 .若 是递增数列，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为 点， 为其右焦点，若 ，
设 ，且 ，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9. 已知 （a， ）是直线 l的方向向量， 是平面 的法向量，则下列结
论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. 已知数列 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列
的
是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知 ，直线 ： 过定点 A， ： 过定点 B， 与 交于点
M，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值是 25
C. 点M
的
轨迹方程是 D. 的最大值为
12. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 l与C交于 ， 两点，其中点 A在
第一象限，点 M是 的中点，作 垂直于准线，垂足为 N，则下列结论正确的是（ ）
A. 若以 为直径作圆 M，则圆 M与准线相切
B. 若直线 l经过焦点 F，且 ，则
C. 若 ，则直线 l的倾斜角为
D. 若以 为直径的圆 M经过焦点 F，则 的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13. 已知 的圆心为 ，且与直线 相切，则圆 C的面积为______.
14. 如图，在三棱锥 O-ABC 中，OA，OB，OC 两两垂直， ， ，则直线 OB 与平面
ABC 所成角的正弦值为__________．
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