湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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长郡中学 2023 年上学期高一期末考试
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
得分_________
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知复数 ，则复数 z的共轭复数在复平面内对应的点在（　 　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．正方体 ABCD-A1B1C1D1中，异面直线 AD1与BD 所成角为（　 　）
A．60° B．45° C．90° D．120°
3．在△ABC 中， ，则 （　 　）
A．B．C．D．
4．a、b为空间中两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（
）
A．若 ， ，则
B．若 a、b为异面直线，则过空间任一点 M，存在直线 c与a、b都垂直
C．若 ， ，则 a与b相交
D．若 a不垂直于 ，且 ，则 a不垂直于 b
5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的 2倍，若该圆锥的体积为 ，则该
圆锥的母线长为（　 　）
A．3 B．C．6 D．
6．向量 ， ，且 ，则 （　 　）
A．B．C．D．
7．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 A=“两次掷出的点数之和是 6”，事件 B=“第一
次掷出的点数是奇数”，事件 C=“两次掷出的点数相同”，则（　 　）
A．A与B互斥 B．B与C相互独立
C．D．A与C互斥
8．已知点 G为三角形 ABC 的重心，且 ，当∠C取最大值时，
（　 　）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．某企业对目前销售的 A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营
收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正
确的是（　 　）
A．产品升级后，产品 A的营收是升级前的 4倍
B．产品升级后，产品 B的营收是升级前的 2倍
C．产品升级后，产品 C的营收减少
D．产品升级后，产品 B、D营收的总和占总营收的比例不变
10．设 ， 是复数，则下列命题正确的是（　 　）
A．若 是纯虚数，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若复数 满足 ，则 的最大值为 3
11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取
与点 B在同一水平面内的两点 C与D（B，C，D不在同一直线上），测得 CD=s．测绘兴
趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，
则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 AB 的高度的是（　 　）
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
12．如图，正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 4，M是侧面 ADD'A'上的一个动点（含边界），
点P在棱 CC'上，且 ，则下列结论正确的有（　 　）
A．沿正方体的表面从点 A到点 P的最短距离为
B．保持 PM 与BD'垂直时，点 M的运动轨迹长度为
C．若保持 ，则点 M的运动轨迹长度为
D．平面 AD'P 被正方体 ABCD-A'B'C'D'截得截面为等腰梯形
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床
可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼
接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为________．
14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志
愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为___
_____．
15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小
球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____
___．
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