湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题 含解析

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雅礼中学 2023 年下学期高二 10 月检测试卷
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出集合 ，再根据并集的运算求解．
【详解】∵集合 ，
，
∴ ．
故选:B．
2. 已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算求得 ，根据虚部定义求得结果.
【详解】 ，∴z的虚部为：2
故选：A
3. 已知向量 ， ，则“， 的夹角为锐角”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】若 ， 的夹角为锐角，则 且 ， 不同向，可得 且 ，
故“， 的夹角为锐角”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A
4. 已知 a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若a⊥α，a⊥b，则 b//αB. 若a//α，a⊥b，则 b⊥α
C. 若a//α，b//α，则 a//bD. 若a⊥α，a//b，则 b⊥α
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判断定理，性质定理，即可求解.
【详解】对于 A，若 a⊥α，a⊥b，则 b//α或b⊂α，故 A错误；
对于 B，若 a//α，a⊥b，则 b//α或b⊂α，或 b与α相交，故 B错误；
对于 C，若 a//α，b//α，则 a与b相交、平行或异面，故 C错误；
对于 D，若 a⊥α，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知 b⊥α，故 D正确．
故选：D．
5. 在 中， ，M是边 的中点，O为 的外心，则 （ ）
A. 8 B. C. 16 D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可将向量数量积 转化到向量 上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】由题意，取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
易知 ， ；
可得 ，
又 ，同理 ；
所以
故选：B
6. 已知 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，则 ，则 化简，由余弦的二倍角
公式可得答案.
【详解】设 ，则 ，
从而 .
故选：D
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