山东省莱西市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题 pdf版含解析

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1
2022-2023 学年高一数学下学期第一次月考试卷
（考试用时 120 分钟）命题人：周修广 审核人：王志金
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等 B．单位向量
1e
C．零向量与任意向量平行 D．若向量
a
，
b
满足
| | | |a b
，则
a b 
2．已知向量
 
2,3 , 1, 2  
a b
，若
ma nb
与
共线，则
m
n
等于（ ）
A．
1
2
B．
1
2
C．
2
D．2
3．若
π π
2 2
 
，
π π
2 2
 
，且
tan
，
tan
是方程
23 3 4 0x x  
的两个根，则
 
 
（ ）
A．
π
3
B．
2π
3
C．
π
3
或
4
3
D．
π
3
或
2π
3
4．已知向量
a
，
b
满足
| | 2 | | 2b a 
，
| 2 | 2a b 
，则向量
a
，
b
的夹角为（ ）
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90
5．若非零向量
AB
和
AC
满足
0
AB AC BC
AB AC
 
 
 
 
 
 
,且
2
2
CA CB
CA CB
 
 
 
，则
ABC
一定是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．有一个内角为
45
的锐角三角形
6．已知函数
 
sin 3cosf x x x 
在
x
时取得最大值，则
π
cos 2 4
 
 
 
 
（ ）
A．
2 6
4
B．
1
2
C．
2 6
4
D．
3
2
7．已知
sin 2cos 0
 
 
，则
 
sin 1 sin 2
sin cos
 
 
（ ）
A．
3
5
B．
4
5
C．
1
5
D．
2
5
8．在
ABC
中，若
2, 3AB AC BC 
，则
ABC
的面积
S
的最大值为（ ）
A．
3
B．
3
2
C．
2
D．
2 2
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2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．对于任意两个向量
,a b
 
，下列命题正确的是（ ）
A．
a b a b 
 
B．
a b a b 
 
C．
a b a b 
 
D．若
a b
 
，则
a b
 
10．已知向量
 
1,3 2 ,2a b x x  
，
，其中
x R
，下列说法正确的是（ ）
A．若
a b
，则
6x
；
B．若
a
与
b
夹角为锐角，则
6x
；
C．若
1x
，则
a
在
b
方向上投影向量为
b
；
D．若
| |a b a b 
 
 
，则
2
7
x
11．已知函数
 
3 3 3
sin2 cos2
2 2
f x x x 
的图象为
C
，则下列结论中正确的是（ ）
A．图象
C
关于直线
5π
12
x
对称
B．图象
C
的所有对称中心都可以表示为
π π ,0
6 2
k
 
 
 
（
kZ
）
C．函数
 
f x
在
π
0, 2
 
 
 
上的最小值为
3 3
2
D．函数
 
f x
在区间
π π
,
12 6
 
 
 
上单调递减
12．在
中，角
, ,A B C
所对的边分别为
, ,abc
，已知
   
: : 4 : 5 : 6b c c a a b  
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
sin : sin : sin 7 : 5 : 3A B C
B．
0CA CB 
 
C．若
6c
，则
的面积是 15 D．若
8 b c
，则
外接圆半径是
7 3
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知向量
 
2,3a
，
 
4,7b 
，则向量
b
在向量
a
的方向上的投影为__．
14．若
 
2sin sin (0 )f x x x
 
 
为偶函数，则
__________.
15．如图所示，CD 是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼
AB（高为
(20 3 20)
米）与雕像之间的地面上的点 M处（B，M，D三点共线）测得楼顶 A及雕像
顶C的仰角分别是 15°和60°，在楼顶 A处又测得雕塑顶 C的仰角为 30°，假设 AB､CD 和点 M在
同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．
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3
16．在
ABC
中，
8, 6, 60AB AC A  
，M为
ABC
的外心，若
AM AB AC
 
 
 
，
, R
 
，则
4 3
4 6
 
 
________．
四．解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知两个非零向量
a
与
b
不共线，
（1）若
, 2 8 , 3( )AB a b BC a b CD a b 
  
 
 
，求证：A､B､D三点共线；
（2）试确定实数 k，使得
ka b
与
k
a b
共线；
（3）若
(1, 2), (1,1),a b c a b
 
 
 
，且
b c
，求实数
的值.
18．已知函数
 
2
2sin cos 2sin
2 2 2
x x x
f x  
．
（1）求
 
f x
的最小正周期；
（2）求
 
f x
在区间
π π
,
2 2
 
 
 
上的最大值．
19．已知平行四边形 ABCD，
60BAD
，AD⊥BD，E、F分别为 AC 上2个三等分点.
（1）设
AB

=
a
，
AD
=
b
，|
b
|=1.，判断 DE、BF 的位置关系并用向量方法加以证明，求
DE BF
uuur uuur
的
值
（2）已知 A（1，1），B（5，1），求 D点坐标及
DE DB
 
的值
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