山东省济南市2023届高三下学期学情检测（一模）数学试题参考答案

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- 1 -
高三年级学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
D
C
B
D
A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号
9
10
11
答案
ACD
AB
AD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13．240；14．
3
3
或
4
2
44
3
−
；15．
(0 e]，
；16．
3
2
．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）
X
的所有可能取值为：
1 2 3 4，，，
，
则
1
( 1) 6
PX==
，
5 1 5
( 2) 6 6 36
PX= =  =
，
5 5 1 25
(X 3) 6 6 6 216
P= =   =
，
5 5 5 125
(X 4) 6 6 6 216
P= =   =
；
所以
X
的分布列为
X
1
2
3
4
p
1
6
5
36
25
216
125
216
所以
X
的数学期望为
1 5 25 125 671
( ) 1 2 3 4
6 36 216 216 216
EX = +  + +  =
．
（2）设事件“甲掷第
n
次且不获胜”的概率为
n
a
，
由题可知：
1
5
6
a=
，且
11
5 5 25 2)
6 6 36
n n n
a a a n
−−
=   = （
，
- 2 -
所以 数列
 
n
a
是以
5
6
为首项，
25
36
为公比的等比数列，则
1
5 25
6 36
n
n
a
−

=


，
所以 甲恰好抛掷第
n
次且赢得比赛的概率
1
1
5 1 1 25
6 6 6 36
n
nn
Pa
−
−

=   = 

，
当
1n=
时符合，所以
1
1 25
6 36
n
n
P
−

=

．
18．【解析】
（1）因为
( )(sin sin ) sina b A B b C+ − =
，由正弦定理得：
22
a b bc−=
，
所以
2 2 2 2 sin sin
cos 2 2 2 2sin
b c a c bc c b C B
Abc bc b B
+ − − − −
= = = =
，
所以
2cos sin sin sin sin( ) sin sin cos sin cos sinA B C B A B B A B B A B= − = + − = + −
，
所以
sin sin cos sin cos sin( )B A B B A A B= − = −
，
因为
0B A B   − −  ，
，
所以
B A B B A B= − + − = ，或 （ ）
(不合题意)，
所以
2AB=
．
（2）由正弦定理得：
23
sin sinBA
=
，
又因为
sin sin2 2sin cosA B B B==
，
所以
23
sin 2sin cosB B B
=
，所以
3
cos 4
B=
，
7
sin 4
B=
．
因为
32ab==，
，由（1）
22
a b bc−=
可得：
5
2
c=
，
所以
1 15 7
S sin
2 16
ac B==
；
即
ABC△
的面积为
15 7
16
．
19．【解析】
（1）因为
2
2n n n
S a a=+
，当
2n
时，
2
1 1 1
2n n n
S a a
− − −
=+
，
作差得
22
11
2n n n n n
a a a a a
−−
= − + −
，整理得
1 1 1
( )( )
n n n n n n
a a a a a a
− − −
+ = + −
，
因为
0
n
a
，所以
11
nn
aa
−
−=
；
当
1n=
时，
2
1 1 1
2a a a=+
，因为
10a
，所以
11a=
；
- 3 -
所以 数列
{}
n
a
是首项为 1公差为 1的等差数列，
所以
n
an=
．
（2）由题意可知
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 2 3
n
n
Ta a a a n
= + + + + = + + + +
因为
22
1 1 1 1 1
( )( 2)
1 2 1 1 n
n n n n
 = −
− − +
，
当
1n=
时，
1
7
14
T=
；
当
2n
时，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 (1 ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1
n
Tnn
+ − + − + − + + −
−+
1 1 1 1 1 7
1 ( )
2 4 2 1 4nn
= + + − +
+
．
得证．
20．【解析】
（1）取
，MN
分别为棱
PA PB，
的中点，连接
DM MN NC， ，
，
则
MN AB
，
1
2
MN AB=
；因为
CD AB
，且
1
2
CD AB=
，
所以
MN CD
，且
MN CD=
，
所以 四边形
MNCD
为平行四边形，故
DM CN
．
因为
DP DA=
，
M
为棱
PA
的中点，所以
DM PA⊥
；
因为
AB AD⊥
，平面
PAD ⊥
底面
ABCD
，平面
PAD
底面
ABCD AD=
，
所以
AB ⊥
平面
PAD
，因为
DM
平面
PAD
，所以
AB DM⊥
；
又
AB PA A=
，所以
DM ⊥
平面
PAB
．
因为
DM CN
，所以
CN ⊥
平面
PAB
，
又因为
CN
平面
PBC
，所以 平面
PBC ⊥
平面
PAB
．
（2）取
AD
中点为
O
，连接
PO
，因为
PAD△
为等边三角形，所以
PO AD⊥
，
因为 平面
PAD ⊥
底面
ABCD
， 所以
PO ⊥
底面
ABCD
，过
O
作
OE AB
，交
BC
于点
E
，则
OE AD⊥
；以
O
为原点，
OA OE OP， ，
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴建立空间直角坐标系，设
2AD =
，
则
(0 0 3)P，，
，
(1 0 0)A，，
，
( 1 0 0)D−，，
，
( 1 2 0)C−，，
，
13
( 0 )
22
M， ，
，
则
33
( 0 )
22
DM =， ，
，
( 1 0 3)AP =−，，
，
( 2 2 0)AC =−， ，
，
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