2023届山东省烟台市高三二模 数学答案
高三数学答案（第 1 页，共 6 页）
2023 年高考适应性练习（一）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
B D B C C A C D
二、选择题
9.BC 10.ACD 11. ACD 12. ABD
三、填空题
13.
4
π
14.如：
12
π
（答案不唯一）
15.
2π
16.
1, 3,1, 6, 4,10
，
2
9 3 19nn−+
四、解答题
17.解 ：（ 1）由余弦定理知
2 22
2 cosb a c ac B=+−
, ······························· 1分
所以
22
sin ( ) 2 cos 2
ac B b a c ac B ac=−− =− +
，
所以
2cos
2sin =+ BB
， ·········································· 3分
又因为
1cossin
22
=
+B
B
，
所以
2
5sin 4sin 0BB−=
，在
ABC∆
中，
sin 0B>
,
所以
5
4
sin =B
. ·········································· 5分
（2）由（1）知
accab 5
6
222
−+=
，
所以
2
22 22
6
15
b ac
ac ac
=−⋅
++
·········································· 7分
6
2
5
125
ac
ac
≥− =
,当且仅当
ac=
时等号成立.
所以
2
22
b
ac+
的最小值为
5
2
. ·······································10 分
18.解 ：（ 1）因为
nnSna nn −=− 2
，
所以
)1()1()1 2
11 −−−=−− −− nnSan nn
（
（
2≥n
），
两式相减得
22)1(
1
−=−−−
−
naanna
nnn
， ······································ 2分
化简得
)2(2
1≥=− −naa nn
， ········································· 4分
所以数列
}{
n
a
是以
1
为首项，
2
为公差的等差数列，
所以
122
)1(1 −=×−+= n
na
n
. ········································ 6分
高三数学答案（第 2 页，共 6 页）
（2）
)
12
1
12
1
(
3
1
)12
)(
12
(
2
12
12
1
212
12
−
−
−
=
−−
=+−
+
−
−
n
nnn
n
n
b
， ··························· 9分
所以
12
...
nn
T bb b=+ ++
)
12
1
12
1
...
12
1
12
1
12
1
12
1
(
3
1
1212533
−
−
−
++
−
−
−
+
−
−
−
=
+− nn
)
12
1
1
(
3
1
12
−
−=
+n
所以
21
11
(1 )
32 1
nn
T
+
= − −
. ·············································12 分
19.解 ：（ 1）证明：连接
1 11
,,OO C O
，则
1
OO ⊥
平面
ABC
.
因为
1
CC
为母线，所以
11
CC O O
四点共面，且
11
//O C OC
.取
CO
中点
N
，连接
1
,C N MN
.因为
11
24
AB A B= =
，则
11 1ON C O= =
，
所以四边形
11
ONC O
为平行四边形.
所以
11
//
C N OO
，所以
1
CN⊥
平面
ABC
.
所以
1
C MN∠
为
1
CM
与底面所成角，
即
1
45C MN∠=
. ··················································
2分
在
1
Rt C NO∆
中，
11C N NO
= =
，所以
12CO=
，同理
12CC=
.在
1
C CO∆
中，
2 22
11
CO CO CC= +
，所以
11
CC CO⊥
. ·········································
4分
因为
1
OO ⊥
平面
ABC
,
AB ⊂
平面
ABC
，所以
1
OO AB⊥
.
因为
C
为
AB
的中点，所以
AB CO⊥
，又
1
OC O O O=
,所以
AB ⊥
平面
11
C O OC
，
又
1
CC ⊂
平面
11
C O OC
，所以
1
C C AB⊥
. ·············································
5分
又因为
11
CC CO⊥
，
1
AB C O O=
，所以
1
CC⊥
平面
1
BOC
； ················· 6分
（2）以
O
为原点，分别以
,
1
,OC OB OO
所在的方向为
,,xyz
的正方向，建立空间直角坐
标系
O xyz−
，则
(2,0,0)C
，
(0,0,0)O
，
(0,2,0)B
，
1
(1,0,1)
C
，
(1,1,0)M
，
所以
(1, 1, 0)BM = −
，
1(1, 2, 1)BC = −
，
(1, 1, 0)OM =
，
1
(1,0,1)OC =
. ······· 7分
设平面
1
BMC
的一个法向量为
1 1 11
(, ,)xyz=n
，
由
1
11
0
0
BM
BC
=
=
n
n
，得
11
1 11
0
20
xy
x yz
−=
− +=
，
令
1
1x=
，得
11
1yz= =
，所以
1(1, 1, 1)=n
. ··································· 9分
N
z
y
x
C
B
1
O
1
O
A
B
C
1
A
1
M
高三数学答案（第 3 页，共 6 页）
设平面
1
OMC
的一个法向量为
2 2 22
(, ,)xyz=n
，
由
2
21
0
0
OM
OC
=
=
n
n
，则
22
22
0
0
xy
xz
+=
+=
.
令
2
1x=
，得
21y= −
，
21z= −
，所以
2
(1, 1, 1)= −−n
， ······················11 分
设平面
1
OMC
与平面
1
BMC
夹角为
θ
，
则
12
111 1
cos | cos , | | | 3
33
θ
−−
= < >= =
×
nn
.
所以平面
1
OMC
与平面
1
BMC
夹角的余弦值为
1
3
. ································12 分
20.解：（1）
2
2
() e
x
xx
fx −+
′=
， ································· 2分
令
() 0fx
′>
，得
02
x
<<
，此时
()fx
在
(0, 2)
上为增函数；令
() 0fx
′<
，
得
0x<
或
2
x>
，此时
()fx
在
( ,0)−∞
和
(2, )+∞
上为减函数； ··········· 4分
综上，
()fx
的单调增区间为
(0, 2)
，单调减区间为
( ,0)−∞
和
(2, )+∞
. ······· 5分
（2）法一：当
1x>
时，
1 ln 0x+>
，所以
2
e ( ln )
x
x
kx
−
≤+１
. ···················· 7分
设
2
( ) ( 1)
e ( ln )
x
x
gx x
x
−
= >
+１
，则
22
2
2 ln ln
() e ( ln )
x
x x xx x x
gx x
−− + +
′=+１
， ········ 8分
设
22
( ) 2 ln lnhx x x x x x x=−− + +
，则
()hx
′
( 1)(3 2 ln )xx=−+
， ··········· 9分
当
1
x>
时，恒有
3 2 ln 0x+>
，
() 0hx
′>
，
()hx
在
(1, )+∞
单增，
所以
( ) (1) 0hx h>=
恒成立，即
() 0
gx
′>
，所以
()gx
在
(1, )+∞
单增. ········10 分
所以当
1x>
时，
1
( ) (1) e
gx g>=−
，所以
k
的取值范围为
1
(, ]
e
−∞ −
. ········12 分
法二：由
1x>
可得
( ln )
e
x
xk x
x
−+１
≤
，即为
1 ln
e (1 ln )
ee
xx
xk x
+
−+
≤
； ············· 8分
因为
1x>
，所以
ln 1
ln 1 0
e
x
x
+
+>
，可得
1 ln
e
e1 ln
e
x
x
x
kx
+
−≥
+
恒成立.
设
() e
x
x
gx=
，则
1
() e
x
x
gx −
′=
.当
1
x>
时，
() 0gx
′<
，
()gx
单减. ··········· 9分
下证
lnxx−>１
在
(1, )+∞
上恒成立.
令
( ) lnhx x x= −
，
11
() 1 0
x
hx xx
−
′=−= >
，所以
()hx
在
(1, )+∞
上单调递增，
得
( ) (1) 1hx h>=
，所以
1 ln 1xx>+ >
. ··································10 分
所以
( ) (1 ln )gx g x<+
，即
1 ln
1 ln
ee
xx
xx
+
+
<
，所以
1 ln
e1
1 ln
e
x
x
x
x
+
<
+
，
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