湖北省十七所重点中学2022-2023学年高三下学期2月第一次联考数学试题 含答案【武汉专题】

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2023 届湖北省十七所重点中学高三第一次联考
数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的导函数为（ ）
A． B． C． D．
4．设复数 z满足 则 z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为 、下底
面半径为 、高为 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶
总体积的（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．设集合 ，则集合 S的元素
个数为（ ）
A． B． C． D．
8．设随机变量 ，当正整数 n很大，p很小， 不大时，X的分布接近泊松分布，即
．现需 100 个正品元件，该元件的次品率为 0.01，若要有 以上
的概率购得 100 个正品，则至少需购买的元件个数为（已知 …）（ ）
A．100 B．101 C．102 D．103
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知递增的正整数列 的前 n项和为 ．以下条件能得出 为等差数列的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ．点 A，B，C
分别在 上．则（ ）
A． 的最大值为 9 B． 的最小值为
C．若 平行于 x轴，则 的最小值为
D．若 平行于 y轴，则 的最大值为
12．已知正方体 的边长为 2，点 P，Q分别在正方形 的内切圆，正方
形 的外接圆上运动，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．已知多项式 满足对任意
，则 _________（用数字作答）．
14．冰雹猜想是指：一个正整数 x，如果是奇数就乘以 3再加 1，如果是偶数就析出偶数因数 ，
这样经过若干次，最终回到 1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这
个问题．已知正整数列 满足递推式 请写出一个满足条件的首项
，使得 ，而 _____________．
15．设实数 ，不等式 对任意实数 恒成立，则 a的取值范围为__
________．
16．设椭圆 的离心率 ，C的左右焦点分别为 ，点 A在C
上满 ． 的角平分线交椭圆于另一点 B，交 y轴于点 D．已知 ，则
_______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）如图，在正三棱柱 中，点 D为线段 的中点，侧面 的面积
为 ．
（1）若 证明： ；
（2）求三棱柱 的体积与表面积之比的最大值．
18．（12 分）为调查某地区植被覆盖面积 x（单位：公顷）和野生动物数量 y的关系，某研究小组
将该地区等面积划分为 200 个区块，从中随机抽取20 个区块，得到样本数据
，部分数据如下：
x… 2.7 3.6 3.2 …
y… 57.8 64.7 62.
6
…
经计算得： ．
（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标
系下，横坐标 x，纵坐标 y的意义与植被覆盖面积 x和野生动物数量 y一致，
（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；
（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．
附：y关于x的回归方程 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
19．（12 分）在 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 ．
（1）求 的最小值；
（2）证明： ．
20．（12 分）设点 A为双曲线 的左顶点，直线l经过点 ，与 C交于不与点 A
重合的两点P，Q．
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