天津市南开区2021届高三下学期3月模拟考试（一）数学试题 答案

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数学试卷参考答案 第1页（共6页）
2020—2021 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)参考答案
数学学科
一、选择题：（本题共 9小题，每题 5分，共 45 分）
题 号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（9）
答 案
B
A
C
B
D
C
A
D
二、填空题：（本题共 6小题，每题 5分，共 30 分）
（10）i； （11）
15
4
； （12）
22
；
（13）0.16，2.44（第一个空 2分，第二个空 3分）； （14）– 2；
（15）
13+
，
33
4
−
（第一个空2分，第二个空3分）．
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）由(2sinA –
3
sinB)2 = 4sin2C – sin2B化简，
得sin2A + sin2B – sin2C =
3
sinAsinB， …………2分
由正弦定理，得 a2 + b2 – c2 =
3
ab， …………3分
所以由余弦定理，得 cos C =
2 2 2
2
a b c
ab
+−
=
3
2
， …………4分
又C∈(0，)，所以 C =
6
． …………6分
（Ⅱ）因为 b = 1，c =
7
，
所以由正弦定理
sin sin
bc
BC
=
，得 sinB =
7
14
， …………8分
因为 b ＜ c，所以 B ＜ C，
所以 cosB =
2
1 sin B−
=
3 21
14
， …………10 分
所以 cos(B – C) = cosBcos
6
+ sinBsin
6
数学试卷参考答案 第2页（共6页）
=
3 21
14
·
3
2
+
7
14
·
2
=
3 21
14
， …………12 分
所以 cos2(B – C) = 2cos2(B – C)– 1=
13
14
． …………14 分
（17）解：如图，以点
D
为原点，
DC
，
DA
，
DP
分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴正方向，建立空间直角坐标系，
在
BC
取一点
E
，使
2=CE
，
则
0 1 0A(，， )
，
1 1 0E(，， )
，
2 0 0C(，， )
，
0 0 2P(，， )
． …3分
（Ⅰ）设平面
PBC
的一个法向量为
x y z=(， ， )n
，
则
1 1 2 2 0
2 0 2 2 2 0.
PE x y z x y z
PC x y z x z
= − = + − =
= − = − =
(， ， )( ，， )，
(， ， )( ，， )
n
n
令
1=z
，
得
1 1 1=(，，)n
． ……………………6分
设
PA
与平面
PBC
所成角为
，
因为
0 1 2PA =−(，， )
，
则
| | 1 15
15
| ||
s|35
in n
n
===
PA
PA
． ……………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面
PBC
的一个法向量为
1 1 1=(，，)n
，
取平面
PDC
的一个法向量为
0 1 0=(，， )m
．
所以
3
| || |
c3
os mn
mn mn
=
=<，>
． ……………………10 分
所以
sin 6
3
mn=<，>
．
即二面角
−−B PC D
的正弦值为
6
3
． ……………………11 分
z
y
x
P
M
C
D
B
A
摘要：

数学试卷参考答案第1页（共6页）2020—2021学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(一)参考答案数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案BACBDCADD二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）（10）i；（11）；（12）；（13）0.16，2.44（第一个空2分，第二个空3分）；（14）–2；（15），（第一个空2分，第二个空3分）．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（Ⅰ）由(2sinA–sinB)2=4sin2C–sin2B化简，得sin2A+sin2B–sin2C=sinAsinB...

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