天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查数学试题 含解析

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天津市和平区 2021 届高三下学期第三次质量调查数学试题
一、单选题（共 9题；共 45 分）
1.已知集合
A={x∈R∨¿x∨≤2}
，
B={x∈R∨x<1}
，则
A∪B=¿
（&&& ）.
A.
¿
B.
[−2,2]
C.
¿
D.
¿
2.“直线
与平面
α
内无数条直线垂直”是“直线
l
与平面
α
垂直”的（&&& ）
A. 充分不必要条件&&&&&&&&&&&&& B. 必要不充分条件&&&&&&&&&&&&& C. 充
要条件&&&&&&&&&&&&& D. 既不必要也不充分条件
3.某市通过统计 50 个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依
次为：
¿
，
¿
，
¿
，
¿
，
¿
，
¿
，
¿
.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于 14
吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（&&& ）.
A. 4 B. 10 C. 19 D. 40
4.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她
怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的
作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物
线，而是与解析式为
y=ex+e− x
2
的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是
（&&& ）
A. B.
C. D.
5.设
a=3
1
5
，
b=( 1
5)
3
，
c=log3
1
5
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（&&& ）.
A.
b<a<c
B.
a<c<b
C.
c<a<b
D.
c<b<a
6.在圆柱
O1O2
内有一个球
O
，球
O
分别与圆柱
O1O2
的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.
若
O1O2=2
，则圆柱
O1O2
的表面积为（&&& ）.
A.
4π
B.
5π
C.
6π
D.
7π
7.已知点 F是双曲线
x2
a2−y2
b2=1
（
a>0
，
b>0
）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一
个端点与点 F恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（&&& ）.
A.
1+❑
√
2
2
B.
1+❑
√
5
2
C.
1+❑
√
2
D.
1+❑
√
5
8.已知函数
f(x)=(asin x+cos x)cos x − 1
2
的图象的一条对称轴为
x=π
6
，则下列结论中正确的是
（&&& ）.
A.
(−7π
12 ,0)
是
f(x)
图象的一个对称中心
B.
f(x)
是最小正周期为
π
的奇函数
C.
f(x)
在
[−π
3,π
3]
上单调递增
D. 先将函数
y=2sin 2 x
图象上各点的纵坐标缩短为原来的
1
2
，然后把所得函数图象再向左平移
π
6
个单位长度，即可得到函数
f(x)
的图象
9.在
ΔABC
中，
⃗
OA +
⃗
OB+
⃗
OC =
⃗
0
，
⃗
AE=2
⃗
EB
，
¿
⃗
AB∨¿λ∨
⃗
AC∨¿
，若
⃗
AB ⋅
⃗
AC=9
⃗
AO ⋅
⃗
EC
，则实数
λ=¿
( )
A.
❑
√
3
3
B.
❑
√
3
2
C.
❑
√
6
3
D.
❑
√
6
2
二、填空题（共 6题；共 30 分）
10.i 是虚数单位，复数
z=(2+i)(1−2i)
，则 z的共轭复数
z=¿
________.
11.
(2x − 1
x)
6
的展开式中常数项是________.
12.设
a∈R
，已知抛物线
y2=4x
的准线l与圆
C:x2+y2+2ax −2❑
√
3y=0
相切，则
a=¿
______
__.
13.若正实数 x，y，z满足
x+3y+2z=1
，则
x+2y
2y+4z+4
x+2y
的最小值是________.
14.已知函数
f(x)={ ¿ln x∨, x >0
¿x2+4x+3∨, x ≤0
，若函数
g(x)=ax (a∈R)
使得方程
f(x)=g(x)
恰有 3个
不同根，则实数 a的取值范围为________.
15.某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在
一局比赛中，甲战胜乙的概率是
1
2
，两人和棋的概率是
1
6
，则乙战胜甲的概率是________；甲乙两人
比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于 2分的概率是________.
三、解答题（共 5题；共 75 分）
16.已知
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
bsin A=2csin B
，且
b=3
，
cos B=1
4
.
（Ⅰ）求
a
的长；
（Ⅱ）求
tanC
的值；
（Ⅲ）求
tan(2B −C )
的值.
17.如图，在四棱锥
P − ABCD
中，
PA ⊥
平面
ABCD
，
AD ⊥CD
，
AD // BC
，
PA=AD=CD =2
，
BC=3
．过点
A
做四棱锥
P − ABCD
的截面
AEFG
，分别交
PD
，
PC
，
PB
于点
E , F , G
，已知
PG :PB=2:3
，
E
为
PD
的中点．
（Ⅰ）求证：
AG //
平面
PCD
；
（Ⅱ）求
AF
与平面
PAB
所成角的正弦值．
18.已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
的离心率
e=❑
√
3
2
，且经过点
D(0,1)
.
摘要：

天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查数学试题一、单选题（共9题；共45分）1.已知集合A={x∈R∨¿x∨≤2}，B={x∈R∨x<1}，则A∪B=¿（   ）.A.¿B.[−2,2]C.¿D.¿2.“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的（   ）A.充分不必要条件             B.必要不充分条件             C.充要条件             D.既不必要也不充分条件3.某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为：¿，¿，¿，¿，¿，¿，¿.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量...

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