2022福建八地市（福州、厦门、泉州、莆田、南平、宁德、三明、龙岩）高三毕业班4月诊断性联考数学试题参考答案

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数学参考答案及评分细则第1页（共 16 页）

高三诊断性测试

数学参考答案及评分细则

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数

的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5分，满分 40 分。

1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D

二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5分，满分 20 分。全部选对的得 5

分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。

9．ABD 10．AC 11．BD 12．ACD

三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5分，满分 20 分。

13．

；14．

3,1









；15．答案不唯一，如：

   

1 , 1,

21, 1

f x f x x





   



≤

等；

16．

；

54π

．

四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求

解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数

与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性

和创新性．满分 10 分．

解法一：（1）因为

n n n

S S S



成等差数列，所以

21n n n n

S S S S



  

， ··················· 1 分

所以

2 1 1n n n

a a a

  

  

，··········································································· 3 分

即





，设

 

的公比为

，则

2q

， ·········································· 4 分

所以

   

2 2 2

a

     

． ·································································· 6 分

（2）依题意，

   

2 1 2

2 1 1 2 1

b k k b k k



  

   

     

   

   

， ················· 7 分

所以

   

10 1 1 3 3 9 9 2 2 4 4 10 10

T a b a b a b a b a b a b       

································ 8 分

   

1 3 9 2 4 10

2 5 2 5a a a a a a       

   

1 3 9 1 3 9

2 5 2 2 5a a a a a a       

······································· 9 分

 

1 3 9

25a a a    

1 2 2 2 5 2      

所以

3 5 11

4 1 2 2 2 5 2T      

，

数学参考答案及评分细则第2页（共 16 页）

两式相减得

 

3 5 9 11 11 11

2 1 4 14 2

3 2 2 2 2 5 2 5 2 2

1 4 3 3

T

              



，

所以

14 2

2 + 3186

T  

． ································································· 10 分

解法二：（1）因为

n n n

S S S



成等差数列，所以

n n n

S S S





，

·········································································································· 1 分

设

 

的公比为

，

①若

1q

，则

2, 2

a S n   

，

4 6,2 4

n n n

S S n S n



     

，所以

n n n

S S S





，

与

n n n

S S S





矛盾，不合题意； ·························································· 2 分

②若

1q

，则

 





，

   

+1 +2

a q a q









， ··············· 3 分

所以

     

+1 +2

1 1 1

1 1 2 1

1 1 1

n n n

a q a q a q

q q q

  



  

，整理得，

+1 +2 2

n n n

q q q

，即

220qq  

，

解得

1q

（舍去）或

2q

， ·································································· 4 分

所以

   

2 2 2

a

     

． ·································································· 6 分

（2）依题意，

   

2 1 2

2 1 1 2 1

b k k b k k



  

   

     

   

   

， ················· 7 分

所以

 

       

10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10

T a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b         

···· 8 分

 

       

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 +4 5a a a a a a a a a a        

··························· 9 分

           

2 3 4 5 6

1 2 2 2 2 2 3 2 2

     

             

     

       

7 8 9 10

4 2 2 5 2 2

   

        

   

3 5 7 9

1 2 2 2 3 2 4 2 5 2         

2 16 96 512+2560   

3186

． ······················································································· 10 分

解法三：（1）因为

n n n

S S S



成等差数列，所以

2n n n

S S S





， ························· 1 分

当

1n

时，

1 3 2

2S S S

，化简得

2aa

， ··············································· 2 分

设

 

的公比为

，所以

2q

， ····························································· 4 分

当

2q

时，

 



  



，因此

 

2 2 2





  





，

       

3 2 2

+2 +1

2 2 2

2 2 2 2 4 2

+ + = =

3 3 3 3

n n n



   

  

         



，

满足

2n n n

S S S





，故

2q

符合题意．

所以

2 ( 2) ( 2)

a

     

． ··································································· 6 分

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（2）依题意，

11b

，

21b

，

32b

，

42b

，

53b

，

63b

，

74b

，

84b

，

95b

，

10 5b

，

·········································································································· 7 分

所以

2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 3 ( 2) 4 ( 2) 4 ( 2) 5 ( 2) 5 ( 2)T                           

·········································································································· 8 分

2 3 4 5 6 7 8 9 10

[ 2 ( 2) ] 2 [( 2) ( 2) ] 3 [( 2) ( 2) ] 4 [( 2) ( 2) ] 5 [( 2) ( 2)]                       

................................................................................................................................................... 9 分

4 5 7 9

2 2 3 2 4 2 5 2       

2 16 96 512 2560    

3186

． ................................................................................................................................. 10 分

18．本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；

考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查

统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素

养；体现应用性和创新性．满分 12 分．

解法一：（ 1）甲滑雪用时比乙多

5 36 180

秒

3

分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的

被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中 4发子弹．

设“甲胜乙”为事件 A，“在第四次射击中，甲有 4发子弹命中目标，乙均未命中目标”

为事件 B，

“在第四次射击中，甲有 5发子弹命中目标，乙至多有 1发子弹命中目标”为事件 C，

依题意，事件 B和事件 C是互斥事件，A=B+C， ········································· 2 分

   

4 5 5 5 4

1 4 1 4 1 1 3

B , C

5 5 4 5 4 4 4

P C P C



         

      



         

         





， ························ 4 分

所以，

     

A B C 12500

P P P  

即甲胜乙的概率为

12500

. ········································································ 5 分

（2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为

，乙选手在比赛中未击中目标

的子弹数为

，则

20, , 20,

X B Y B

   

   

   

， ··········································· 7 分

所以甲被罚时间的期望为

1 1 20 4

EX    

（分钟）， ································ 8 分

乙被罚时间的期望为

1 1 20 5

EY    

（分钟）， ······································ 9 分

又在赛道上甲选手滑行时间慢 3分钟，

所以甲最终用时的期望比乙多 2分钟. ······················································ 11 分

因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. ············································ 12 分

解法二：（1）同解法一． ··············································································· 5 分

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