福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题答案

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1
2023-2024 学年第二学期福州市部分学校教学联盟期中联考
数学试题参考答案及评分标准
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答
科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题所给出的的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
A
C
C
C
B
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题有多个选项是符合题目要求的，全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
注意：全部选对的得 3 分，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分，有选错的得 0 分。
题号
9
10
11
答案
BCD
ACD
ACD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12．2 13．
 
4,0
14．
1 9
,
2 16
 
 
 
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本题满分 13 分，第一小题 6分，第二小题 7分）
解：（1）
2 6
2021 8 3 i 1 3i
i ( 2 2i) 1 3i 1 3i
 
 
 
 
   
 
8 2 6
1 3i
=i+16(1 i) i ( )
2
 
 
4 3
1 3i
i 16( 2i) 1 ( )
2
 
   
；
（2）由
2i (2 3i) 0x x m  
设
im b
（
0b
），
可得
23 ( 2 )i 0x b x b  
，
23 0
2 0
x b
x b
 
 
，可得
3
2
3
4
x
b
 
或
0
0
x
b
（舍）
所以纯虚数
3i
4
m= -
.
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
2
16．（本题满分 15 分，第一小题 6分，第二小题 9分）
解：（1）因为
   
cos cos 2 3 sin cosa B C a B C c B A 
所以
 
cos cos sin sin cos cos sin sin 2 3 sin cosa B C a B C a B C B C c B A  
，.
即
sin sin 3 sin cosa B C c B A
，由正弦定理得
sin sin sin 3sin sin cosA B C C B A
，
显然
sin 0,sin 0C B 
，所以
sin 3cosA A
，所以
tan 3A
，
因为
π
0, 2
A 
 
 
，所以
π
3
A
.
（2）由正弦定理得
4
sin sin sin
a b c
A B C
 
，即
4
sin sin π
sin π 3
a b c
A B B
 
 
 
 
 
 
 
 
，
则
π
4sin , 4sin ,
3
b B c B
 
 
 
 
.
π
2 3 4sin 4sin 3
a b c B B
 
 
 
 
π π
2 3 4sin 4 sin cos cos sin
3 3
B B B
 
 
 
 
π
2 3 4 3sin 6
B
 
 
 
 
，.
因为
π
02
2π π
03 2
B
B
 
 
，解得
π π
6 2
B 
，得
π π 2π
,
6 3 3
B 
  
 
，
所以
π 3
sin ,1
6 2
B 
 
 
 
，
得
6 2 3, 6 3abc
 
.
17．（本题满分 15 分，第一小题 4分，第二小题 5分，第三小题 6分）
解：（1）
如右图所示，
30BAC  
，
60ABC  
，
30AB
，
AC BD
时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为
cos30 15 3AC AB  
海里，
海轮航行的距离为
15BC
海里，故航行时间为
15 3
20 4
小时，
所以小艇的航行速度
15 3 20 3
3
4
v 
海里/时；
（2）如图所示，
设小艇与海轮在点
D
处相遇，
经过 2 小时后海轮航行的里程为
20 2 40 
海里，
即
40BD
，
{#{QQABKQaQggCAAJIAABgCEQEQCACQkAACAAoOgEAIMAAByBNABAA=}#}
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