甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2022-2023高三上学期第三次阶段数学考试试题参考答案

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兰化一中 2023 届高三第三次阶段考试
高三数学（理）参考答案
一、CDACA ABABD CB
(11)设
AM x=
，
则
tan 2
AP b m
AMP AM x
−
 = =
，
tan 2
AQ b m
AMQ AM x
+
= =
,
所以
2 2 2 2
2
2
22
tan
12
42
b m b m m
xx
PMQ b m b m
x
xx
+−
−
 = =
−−
++
，
因为
22 22
22
2
bm
x b m
x
−
+  −
,当且仅当
22
22
bm
xx
−
=
,即
22
2
bm
x−
=
等号成立，
所以
时，
tan PMQ
有最大值
2
2
4m b m
bm
−
−
，由正切函数单调性知，此时张角
PMQ
最大.
二、13. 𝒙 = 𝟏
14． 𝝅
𝟒-1
15. √𝟏𝟑
16. 𝟐√𝟓
𝟓
三、17.(1)
E
为
1
CC
的中点．
作图如下：如图，取
1
CC
的中点
E
，连接
DE
，
1
BE
．
(2)设
1
D
在平面
11
ABB A
内的射影为
O
，点
F
在
AB
上，且
1
OF AA∥
．
以
O
为坐标原点，
OF
，
1
OB
，
1
OD
所在直线分别为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系．
设
2CD =
，则
12AA =
，
4AB =
，
11AF OA==
，
1
OB 3=
，
13OD =
，
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所以
( )
2, 1,0A−
，
( )
10,3,0B
，
( )
2,0, 3D
，
( )
10, 1,0A−
，
所以
( )
12,0,0AA=
，
( )
0,1, 3AD =
，
( )
12,4,0AB =−
．
设平面
1
AA D
的法向量为
( )
1 1 1
,,m x y z=
r
，
则
11
11
20
30
m A A x
m AD y z
= =
= + =
，取
( )
0, 3, 1m=−
．
设平面
1
ADB
的法向量为
( )
2 2 2
,,n x y z=
r
，
则
1 2 2
22
2 4 0
30
n AB x y
n AD y z
= − + =
= + =
，取
( )
2 3, 3, 1n=−
．
所以
41
cos , 2
4 16
mn
mn mn
= = =
，
由图可知二面角
11
B AD A−−
为锐角，故其余弦值为
1
2
．
18. (1)设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件
A
，则
( )
2
1
3412
C33 9
PA  
=  =
 
 
；
该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件
B
，则
( )
241 3 2 5 2 5 3 1
6 5 3 6 5 6 5 3
1
3 90
PB=   +  +   =
．
(2)该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为
X
，
依题意，
1
~ 3,3
XB



，则
( )
1
31
3
EX ==
，
该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为
Y
，随机变量
Y
的可能取值为：0，1，2，3．
( ) ( )
3
5
51
0 1 ,
6 2
n
P Y n −
= =  − =
( ) ( ) ( )
3 5 2 3
55
1 5 13 2
1 1 1
6 6 6 305
n
P Y n n n +
= = − +  − +  =
，
( )
1 2 11
2 (1 )
6 5 6 5
5 2 3 1 2
6 5 30
n
P Y n n n +
= = +  +  − =
，
( )
1
36
2
15
2
5 30
n
P Y n n
= =  = =
，
随机变量
Y
的分布列：
Y
0
1
2
3
P
1
2
n−
13 2
30
n+
2 11
30
n+
15
n
( )
1 13 2 2 11 17 30
0 1 2 3
2 30 30 15 30
n n n n n
EY − + + +
= +  + + =
，
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因为该考生更希望进入甲大学的面试，则
( ) ( )
E Y E X
，即
17 30 1
30
n+
，解得
13
030
n
，
所以
n
的范围为：
13
030
n
.
19. (1)
13
nn
Sa
+
=−
①，
当
1n=
时，
12
3aa=−
，
24a=
；当
2n
时，
13
nn
Sa
−=−
②
①-②得，即
12
nn
aa
+=
又
2
1
42
a
a=
，
∴数列
 
n
a
是从第 2项起的等比数列，即当
2n
时，
2
222
nn
n
aa −
=  =
．
1, 1,
2 , 2.
nn
n
an
=
=
．
(2)若选择①：
( )( )
( )( ) ( )( )
2
21
1 1 1
11
2 2 2 1 1
2
1 2 2 1 2 1
2 1 2 2 2 1 2 1
nn
n
nnn
n n n n
nn
a
caa
+
+
+
+ + +
++

= = = = −

− − − −
− − − − 
，
2 2 3 1 1
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
nn n n
T++
 
= − + − + + − = −
 
− − − − − −
 
．
若选择②
1
2
2
nn
n
c+
+
=
，则
2 3 1
3 4 1 2
2 2 2 2
nnn
nn
T+
++
= + + + +
③，
3 4 1 2
1 3 4 1 2
2 2 2 2 2
nnn
nn
T++
++
= + + + +
④，
③-④得
3 4 1 2 1 2
1 3 1 1 1 2 3 1 1 2
1
2 4 2 2 2 2 4 4 2 2
nn n n n
nn
T+ + − +
++
 
= + + + + − = + − −
 
 
，
1
4
22
2
nn
n
T+
+
= −
．
20.（1）(𝒔𝒊𝒏𝟏)𝒙 + 𝒚 − 𝒔𝒊𝒏𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟏 = 𝟎
（2）函数
()fx
的定义域为
R
，且
'(se)ne i
x
f x x= − −
．
当
0x
时，
'( ) e sin e 1 sin e 0
x
f x x x= − −  − − 
；
当
0x
时，令
'
( ) ( ) e sin e
x
h x f x x= = − −
，则
'( ) e cos 0
x
h x x= −
，
()hx
在
(0, )+
上单调递增．
摘要：

学科网（北京）股份有限公司兰化一中2023届高三第三次阶段考试高三数学（理）参考答案一、CDACAABABDCB(11)设，则，,所以，因为,当且仅当,即等号成立，所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角最大.二、13.�=�14．�-115.√��16.�√��三、17.(1)E为的中点．作图如下：如图，取的中点E，连接DE，．(2)设在平面内的射影为O，点F在AB上，且．以O为坐标原点，OF...

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