浙江省五校联盟2023-2024学年高二下学期期中考试 数学 含答案

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2023 学年第二学期五校联盟期中考试试卷
高二年级数学学科
命题：浙江省杭州第二中学 审题：绍兴市第一中学
本试卷分为第 I卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。
考生须知：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知函数 ，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如下表给出 5组数据 ，为选出 4组数据使其线性相关程度最大，且保留第 1组数据 ，则应去
掉（ ）
1 2 3 4 5
5 4 3 2
3 2 7 1
A. B. C. D.
3.已知点 为曲线 上的动点， 为圆 上的动点，则线段 长度的最小值
是（ ）
A.3 B.4 C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知两点 ， ，点 为动点，且直线 与 的斜率之积为
，则点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.棱长为 2的正方体 ， 是棱 的中点，点 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知 为满足 能被 9整除的正整数 的最小值，则
的展开式中，系数最大的项为（ ）
A.第6项B.第7项C.第11 项D.第6项和第 7项
7.已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为 上一点，满足 ， ， ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知点 不在函数 （ 为自然对数的底数）图象上，且过点 能作两条直线与 的
图象相切，则 的取值可以是（ ）
A. B. C.1 D.
10.盒中有编号为 1，2，3，4的四个红球和编号为 1，2，3，4的四个白球，从盒中不放回的依次取球，每
次取一个球，用事件 表示“第 次首次取出红球”，用事件 表示“第 次取出编号为 1的红
球”，用事件 表示“第 次取出编号为 1的白球”，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，数列 与数列 的前 项和
分别为 ， ，则（ ）
A. B.存在 ，使得
C. D.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.随机变量 ， ，则 ______.
13.甲乙丙丁戊 5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有______种不同的排法.
14.已知关于 的不等式 在 上恒成立（其中 为自然对数的底数），则实数
的取值范围为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题 13 分）
两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练。已知甲、乙每次扑中的概率分别是 和 ，每次扑点球相互独
立，互不影响.
（1）甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为 ，试求随机变量 的分布列及数学期望
（用最简分数表示）；
（2）乙扑点球 6次，其扑中次数为 ，试求 的概率和随机变量 的方差（用最简分数表示）.
16.（本小题 15 分）
如图，在四棱锥中，侧面 是正三角形且垂直于底面 ，底面 是矩形，
， ， ， 分别是线段 ， 上的动点
（1）是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，试求 ；若不存在，请说明理由；
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