《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题5.9 分式方程（知识讲解）

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专题 5.9 分式方程（知识讲解）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
特别指出：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最
简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种
根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项
式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式
方程的解，若最简公分母等于 0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式
子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无
意义，所以这个根是原分式方程的增根.
特别指出：
（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程
的
1
两边都乘以（或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果
方
程的两边都乘以的数是 0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根
就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是
否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进
行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、（2019·湖南邵阳市·八年级期中）在下列方程：① 、② 、③
、④ 、⑤ 中，分式方程的个数有__________．
【答案】3
【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出
结果即可．
解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
故答案为：3．
【点拨】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定
2
义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字
母）．
举一反三：
【变式】（2019·山东济宁市·八年级期末）下列关于 x的方程① ，② ，
③1，④ 中，是分式方程的是 （________）（填序号）
【答案】②
【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做
分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。
【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【点拨】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.
类型二、解分式方程
2、 （2018·河南驻马店市·八年级期末）解下列分式方程：
（1） ＝1 （2）
【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3．
【分析】
（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x 2），解一元一次方程，然后进行检验确
定原方程的解；
（2）去分母得：x（x+2）=3，整理得 x2+2x 3=0，解一元二次方程，然后进行检验
确定原方程的解．
解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x 2﹣），
约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x 2﹣），
解之得：x＝0，
检验：当 x＝0时，（x+2）（x 2﹣）≠0，
x∴＝0是原方程的解，
∴原分式方程的解为：x＝0；
3
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