《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题5.13 分式方程增根、无解问题探究（专项练习）

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专题 5.13 分式方程-增根、无解问题探究（专项练习）

一、填空题

1．分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式

方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分

母后的___整式_____方程的根，也是使___分式 _____方程的分母为 0的根．

2．分式方程的增根

概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为 0，分

式方程无解，这样的根叫做___增根_____．

检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0就是原

分式方程的根，若为 0则为增根，必须舍去．

二、解答题

3．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的

根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常

为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数

的值．

阅读以上材料后，完成下列探究：

探究 1：m为何值时，方程有增根．

探究 2：m为何值时，方程的根是．

探究 3：任意写出三个 m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于

第三个根；

探究 4：你发现满足“探究 3”条件的的关系是______．

4．（2020·山西八年级期末）阅读理解，并解决问题.

分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产

生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质 2：等式两边乘同一个数，或

除以同一个不为 0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘 0时，就会出现的特殊

情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘 0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，

此时无法知道所乘的公分母的值是否为 0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去

分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为 0，此根即为增根，增根是整式方程的根，

但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：

（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是；

（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；

（3）解方程

5．（2020·河北八年级期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不

清楚： .

（1）她把这个数“？”猜成 5，请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请

你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

6．（2020·廊坊市第一中学八年级期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数

“？”看不清楚：

(1)她把这个数“ ”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；

(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你

求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

7．（2020·广西七年级期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产

生不适合原方程的根．对于分式方程：

（1）若该分式方程有增根，则增根为________．

（2）在（1）的条件下，求出的值．

8．（2020·山东九年级月考）已知关于的分式方程，回答下列问

题：

（1）原方程去分母后，整理成关于 x的整式方程得：_______________________．

（2）若原分式方程无解，求的值．

9．（2020·江苏九年级期中）阅读理解：

转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的

或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方

程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．

解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方

程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．

例如：解方程

解：两边平方得：

解得：，

经检验，是原方程的根，

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