《九年级下册数学专题培优训练（苏科版）》专题03 7.5解直角三角形培优训练（解析版）

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专题 03 7.5 解直角三角形培优训练
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题
1. 如图，
△ABC
中，
AB=AC=10
，
tanA=2
，
BE⊥AC
于点
E，D是线段 BE 上的一个动点，则
CD +
√
5
5BD
的最小值是
()
A.
2
√
5
B.
C.
5
√
3
D. 10
【答案】B
【解析】如图，作
DH ⊥AB
于H，
CM ⊥AB
于
M .
由
tanA=BE
AE =2
，设
AE=a
，
BE=2a
，利用勾股定理构建方程求出 a，再证明
DH =
√
5
5BD
，推出
CD +
√
5
5BD=CD +DH
，由垂线段最短即可解决问题．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】解：如图，作
DH ⊥AB
于H，
CM ⊥AB
于M．
∵BE ⊥AC
，
∴∠ ABE=90 °
，
∵tanA=BE
AE =2
，设
AE=a
，
BE=2a
，
1
则有：
100=a2+4a2
，
∴a2=20
，
∴a=2
√
5
或
−2
√
5¿
舍弃
¿
，
∴BE=2a=4
√
5
，
∵AB=AC
，
BE⊥AC
，
CM ⊥AC
，
∴CM =BE=4
√
5¿
等腰三角形两腰上的高相等
¿¿
∵∠ DBH =∠ABE
，
∠BHD=∠BEA
，
∴sin∠DBH =DH
BD =AE
AB =
√
5
5
，
∴DH =
√
5
5BD
，
∴CD +
√
5
5BD=CD+DH
，
∴CD +DH ≥ CM
，
∴CD +
√
5
5BD ≥ 4
√
5
，
∴CD +
√
5
5BD
的最小值为
．
故选：B．
2. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形 ABCD，连接 AC，则
tan ∠ACD
的值为
¿
¿
A.
√
3
B.
√
3+1
C.
√
3−1
D.
2
√
3
【答案】B
【解析】
本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进
一步求出各个线段的长，有一定难度．
作
AH ⊥CB
交CB 的延长线于 H，利用含
45 °
的等腰直角三角形和含
30 °
角的直角三
角形，解直角三角形，求出各边长，并证明
AH /¿DC
，推出
∠ACD=∠CAH
，由
锐角三角函数定义即可解决问题．
【解答】
2
解：如图，
△BCD
是含
45 °
的等腰直角三角形，
△ABD
是含
30 °
角的直角三角形，
∠ADB=30 °
，
作
AH ⊥CB
交CB 的延长线于 H．
∵∠ ABD=90 °
，
∠DBC=45 °
，
∴∠ ABH =45 °
，
∵∠ AHB=90 °
，
∴△ABH
是等腰直角三角形，
∴AH =BH
，
设
AH=BH =a
，则
AB=
√
2a
，
BD=
√
6a
，
BC=CD=
√
3a
，
CH =a+
√
3a
，
∵∠ AHB=∠DCB=90 °
，
∴AH /¿DC
，
∴∠ ACD=∠CAH
，
∴tan ∠ACD=tan ∠CAH=CH
AH =
√
3+1
，
故选 B．
3. 如图，在正方形 ABCD 中，以 BC 为边向正方形内部作等边
△BCE
连接
AE，DE，连接 BD 交CE 于点 F，有下列结论：
①∠AED=150❑∘
；
②△≝¿
∽
3
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