第一讲 一元二次方程（解析版）2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第一讲 一元二次方程
【学习目标】
1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是 是常数， ） ，能说出二次项及其系数，
一次项及其系数和常数项；
3.理解并会用一元二次方程一般形式中 a≠0 这一条件；
4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服
务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
【新课讲解】
知识点 1：一元二次方程的概念
观察方程：（1）2x2-36=7x ; （2）x2﹣3x+16= 88 （3）x2﹣2mx+2n=0
观察以上方程，它们是不是一元一次方程？ 它们有什么共同特点呢？与一元一次方程有什么相同和不同？
结论：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程特点：整式方程； 只含一个未知数；未知数的最高次数是 2.
知识点 2：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：ax²+bx+c=0(a≠0)
其中 ax² 是二次项，a是二次项系数；
bx 是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
针对性演练：
给出一元二次方程 2x2-36=7x
（1）将方程化为一般形式.
（2）指出方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
【解析】（1）将方程 2x2-36=7x 移项得：2x2-7x-36=0
这就是一元二次方程一般形式。
（2）二次项为 2x2 ，二次项系数为 2；一次项为-7x，一次项系数为-7； 常数项为-36.
注意：一元二次方程一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。
知识点 3：一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根，使方程
左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
针对性演练：
1
下列哪些数是方程 x2-x-6=0 的根？
－4，－2，0，2，3。
【解析】这个数带入一元二次方程，能使方程左右两端等式成立，这个数就是方程的根。
将x=-4 带入方程的左边得 14，不等于方程右端；
x=-2 时，左边得 0，等于方程右端；
x=0 时，左边得-6，不等于方程右端；
x=2 时，左边得-4，不等于方程右端；
x=3 时，左边得 0，等于方程右端。
所以该方程的根为-2 和3.
根的数量：一元二次方程的根是两个.
知识拓展：
类型一：利用一元二次方程的定义确定字母的取值。
【例题 1】已知(m－3)x2＋m x＝1+2mx2是关于 x的一元二次方程，则 m的取值范围是(　　)
A．m≠-3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】将原来方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数不能等于 0.
(m－3)x2＋m x＝1+2mx2
化为一般形式(m+3)x2-m x+1＝0
所以(m+3) ≠0
m ≠-3
类型二：利用一元二次方程的定义确定求字母的取值。
【例题 2】若关于 x的一元二次方程(2a－8)x2＋(a＋2)x＋a－8＝0没有常数项，则 a的值为________．
【答案】4
【解析】一元二次方程没有常数项，说明其二次项系数为 0
即(2a－8)=0
a=4
类型三：利用一元二次方程的根的定义求代数式的值。
【例题 3】已知关于 x的方程 x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则 a－b的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】将 x=-a 带入方程得：a2-a
b
＋
a
＝0
2
因为
a
≠0，所以 a2-a
b
＋
a
＝0 变 a-
b
＋1＝0
a－b=-1
类型四：利用一元二次方程根的定义解决探究性问题 。
【例题 4】已知 m，n 是方程 x2－2x－1＝0 的两个根，是否存在实数 a 使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值
等于 8? 若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】由题意可知 m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，
∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]
＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)，
由－4(a＋7)＝8 得 a＝－9，
故存在满足要求的实数 a，且 a 的值等于－9.
一元二次方程过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每个小题 4 分，共 40 分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2
xy
﹣7＝0 B．
x
2﹣7＝0 C．﹣7
x
＝0 D．5（
x
+1）＝72
【答案】B
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是 2；
（2）二次项系数不为 0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
A．方程含有两个未知数，故错误；
B．符合一元二次方程的定义，正确；
C．未知数的最高次数是 1，故错误；
D．未知数的最高次数是 1，故错误．
2．一元二次方程 的常数项是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】A
3
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